24 और 18 का सांझा गुणनखंड क्या है? - 24 aur 18 ka saanjha gunanakhand kya hai?

6 गणित

संख्याओं के साथ खेलना

NCERT Solutions

प्रश्न 1: निम्न के सार्व गुणनखंड ज्ञात कीजिए:

(a) 20 और 28

उत्तर: 20 का गुणनखंड = 1, 2, 4, 5, 10, 20
28 का गुणनखंड = 1, 2, 4, 7, 14, 28
इसतरह 20 और 28 का सार्व गुणनखंड 1, 2 और 4 है।

(b) 15 और 25

उत्तर: 15 का गुणनखंड = 1, 3, 5, 15
25 का गुणनखंड = 1, 5, 25
इसतरह 15 और 25 का सार्व गुणनखंड 1 और 5 है।

(c) 35 और 50

उत्तर: 35 का गुणनखंड = 1, 5, 7, 35
50 का गुणनखंड = 1, 2, 5, 10, 25, 50
इसप्रकार, 35 और 50 का सार्व गुणनखंड 1 और 5 है।

(d) 56 और 120

उत्तर: 56 का गुणनखंड = 1, 2, 4, 7, 14, 28, 56
120 का गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
इसप्रकार 56 और 120 का सार्व गुणनखंड 1, 2 और 4 है।

प्रश्न 2: निम्न के सार्व गुणनखंड ज्ञात कीजिए:

(a) 4, 8 और 12

उत्तर: 4 का गुणनखंड = 1, 2, 4
8 का गुणनखंड = 1, 2, 4, 8
12 का गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 12
इसप्रकार, 4, 8, 12 का सार्व गुणनखंड 1, 2 और 4 है।

(b) 5, 15 और 25

उत्तर: 5 का गुणनखंड = 1, 5
15 का गुणनखंड = 1, 3, 5, 15
25 का गुणनखंड = 1, 5, 25
इसप्रकार, 5, 15 और 25 का सार्व गुणनखंड 1 और 5 है।

प्रश्न 3: निम्न के प्रथम तीन सार्व गुणज ज्ञात कीजिए:

(a) 6 और 8

उत्तर: 6 का गुणज = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ……..
8 का गुणज = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72,…….
इसतरह, 6 और 8 का प्रथम तीन सार्व गुणज 24, 48 और 72 है।

(b) 12 और 18

उत्तर: 12 का गुणज = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108,…….
18 का गुणज = 18, 36, 54, 72, 90, 108,……
इसतरह, 12 और 18 का प्रथम तीन सार्व गुणज 36, 72 और 108 है।

प्रश्न 4: 100 से छोटी ऐसी सभी संख्याएँ लिखिए जो 3 और 4 के सार्व गुणज हैं।

उत्तर: 3 का गुणज = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99
4 का गुणज = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 98
100 से छोटी 3 और 4 के सार्व गुणज 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 और 96 है।

प्रश्न 5: निम्नलिखित मे से कौन-सी संख्याएँ सह-अभाज्य हैं?

(a) 18 और 35

उत्तर: 18 का गुणनखंड = 1, 2, 3, 6, 9, 18
35 का गुणनखंड = 1, 5, 7, 35
हम जानते हैं कि दो संख्याएँ जिसके सार्व गुणनखंड केवल 1 हो, सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती है।
18 और 35 का सार्व गुणनखंड सिर्फ 1 है। इसतरह, ये सह-अभाज्य संख्याएँ है।

(b) 15 और 37

उत्तर: 15 का गुणनखंड = 1, 3, 5, 15
37 का गुणनखंड = 1, 37
हम जानते हैं कि दो संख्याएँ जिसके सार्व गुणनखंड केवल 1 हो, सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती है।
15 और 37 का सार्व गुणनखंड सिर्फ 1 है। इसतरह, ये सह-अभाज्य संख्याएँ है।

(c) 30 और 415

उत्तर: 30 का गुणनखंड = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
415 का गुणनखंड = 1, 5, ….., 415
हम जानते हैं कि दो संख्याएँ जिसके सार्व गुणनखंड केवल 1 हो, सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती है।
30 और 415 का सार्व गुणनखंड 1 और 5 है।
अर्थात, इसके दो सार्व गुणनखंड है इसलिए ये सह-अभाज्य संख्याएँ नहीं है।

(d) 17 और 68

उत्तर: 17 का गुणनखंड = 1, 17
68 का गुणनखंड = 1, 2, 4, 17, 34, 68
हम जानते हैं कि दो संख्याएँ जिसके सार्व गुणनखंड केवल 1 हो, सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती है।
17 और 68 का सार्व गुणनखंड 1 और 17 है।
अर्थात, इसके दो सार्व गुणनखंड है इसलिए ये सह-अभाज्य संख्याएँ नहीं है।

(e) 216 और 215

उत्तर: 216 का गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9,…… 216
215 का गुणनखंड = 1, 5, …… , 215
हम जानते हैं कि दो संख्याएँ जिसके सार्व गुणनखंड केवल 1 हो, सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती है। 15 और 37 का सार्व गुणनखंड सिर्फ 1 है। इसतरह, ये सह-अभाज्य संख्याएँ है।

(f) 81 और 16

उत्तर: 81 का गुणनखंड = 1, 3, 9, 27, 81
16 का गुणनखंड = 1, 2, 4, 8, 16
हम जानते हैं कि दो संख्याएँ जिसके सार्व गुणनखंड केवल 1 हो, सह-अभाज्य संख्याएँ कहलाती है।
81 और 16 का सार्व गुणनखंड सिर्फ 1 है। इसतरह, ये सह-अभाज्य संख्याएँ है।

प्रश्न 6: एक संख्या 5 और 12 से विभाज्य है। किस अन्य संख्या से वह संख्य सदैव विभाजित होगी?

उत्तर: वह संख्या 5 × 12 = 60 है, जो 60 से विभाजित होगी।

प्रश्न 7: एक संख्या 12 से विभाज्य। और कौन सी संख्याएँ है जिनसे यह संख्या विभाज्य होगी?

उत्तर: 12 का गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 12
और, यह संख्या 1, 2, 3, 4 और 6 से विभाज्य होगी।

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किसी संख्या का “गुणनखंड” वह संख्याएँ होती हैं जिन्हें आपस में गुणा करने पर पुनः वही संख्या प्राप्त होती है। इसे समझने का दूसरा तरीका यह है कि हर संख्या उसके गुणनखण्डों का गुणनफल होती है। कैसे गुणनखंड प्राप्त करें – जो कि किसी संख्या को उसके गुणनखण्डों में विच्छेद करने की प्रक्रिया है – एक महत्त्वपुर्ण गणितीय कौशल है जिसका उपयोग मूलभूत अंकगणित में ही नहीं बल्कि बीजगणित में भी किया जाता है। कैसे गुणनखंड प्राप्त करें इसे सीखने के लिए नीचे दिए गए पहले चरण से शुरुआत करें।

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   दी गयी संख्या लिखें: गुणनखंड प्राप्त करने की शुरुआत करते हुए आपको सिर्फ दी गयी संख्या की आवश्यकता है – इसके लिए कोई भी संख्या चलेगी, परन्तु, आसानी के लिए हम सामान्य पूर्णांक संख्या लेंगे। पूर्णांक संख्या भिन्नात्मक या दशमलव घटक के अतिरिक्त संख्या होती है (सभी धनात्मक तथा ऋणात्मक संख्या पूर्ण संख्या होती है) ।

   • मानिये हम संख्या 12 चुनते हैं। इस संख्या को पेपर पर लिखिए।

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   ऐसी दो संख्याएँ प्राप्त कीजिये जिनका गुणनफल पहली संख्या हो: किसी भी पूर्ण संख्या को दो अन्य पूर्ण संख्या के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। प्रमेय संख्या को भी उस संख्या तथा 1 के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। किसी संख्या को उसके दो गुणनखंड के रूप में लिखने के लिए “मानसिक चिंतन” की आवश्यकता होती है – आपको स्वयं को यह पूछने की आवश्यकता है, “किन संख्याओं के गुणनफल से दी हुई संख्या प्राप्त होगी?”

   • हमारे उदाहरण में, 12 के कई गुणनखंड हैं - 12 × 1, 6 × 2, and 3 ×4 सभी का गुणनफल 12 है। इसलिए हम यह कह सकते हैं 12 के गुणनखंड हैं 1, 2, 3, 4, 6, तथा 12 । हमारे उद्देश्य के लिए, हम गुणनखंड 6 तथा 2 को चुनते हैं।
   • सम संख्या का गुणनखंड प्राप्त करना आसान होता है क्योंकि संख्या 2 हर सम संख्या का एक गुणनखंड होता है। 4 = 2 × 2, 26 = 13 × 2, इत्यादि।

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   यह सुनिश्चित करें कि कहीं प्राप्त हुए गुणनखंड को और भी खंडित किया जा सकता है या नहीं: कई संख्याएँ, खासतौर पर बड़ी संख्या को कई बार खंडित किया जा सकता है। यदि आपने गुणनखंड के रूप में दो संख्याएँ प्राप्त कर ली हैं, तथा इनमें से किसी एक संख्या के और गुणनखंड प्राप्त किये जा सकते हैं, तो इस संख्या को भी उसके गुणनखंड के रूप में लिखें।

   • हमारे उदाहरण में, हमने 12 को 2 × 6 में खंडित किया है। गौर कीजिये कि 6 के अपने गुणनखंड 3 × 2 = 6 हैं। इसलिए, हम कह सकते हैं कि 12 = 2 × (3 × 2)।

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   जब आपको अभाज्य संख्या मिल जाये तो गुणनखंड प्राप्त करना रोक दें: अभाज्य संख्या वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें सिर्फ उसी संख्या या 1 से विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, तथा 17 अभाज्य संख्याएँ हैं। जब आपने किसी संख्या के ऐसे गुणनखंड प्राप्त कर लिए हैं जिनमें सभी संख्याएँ अभाज्य हैं, तो इसके उपरांत गुणनखंड प्राप्त करना निरर्थक होगा। इसलिए रुक जाएं।

   • हमारे उदाहरण में, हमने 12 को 2 × (2 × 3) में खंडित किया है। 2, 2, तथा 3 अभाज्य संख्याएँ हैं। यदि हम फिर से इनका गुणनखंड प्राप्त करें, तो हमें (2 × 1) × ((2 × 1)(3 × 1)) मिलेगा, जिसकी कुछ उपयोगिता नहीं है, इसलिए इसकी जरुरत नहीं।

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   ऋणात्मक संख्या का गुणनखंड भी इसी प्रकार प्राप्त करें: ऋणात्मक संख्या का भी करीब-करीब धनात्मक संख्या की तरह ही गुणनखंड प्राप्त किया जाता है। इसमें एकमात्र अंतर है कि गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में वही ऋणात्मक संख्या प्राप्त होनी चाहिए, इसलिए ऋणात्मक गुणनखण्डों की विषम संख्या होनी चाहिए।

   • उदाहरण के लिए, -60 का गुणनखंड प्राप्त करने के लिए, नीचे देखिये:
     • -60 = -10 × 6
     • -60 = (-5 × 2) × 6
     • -60 = (-5 × 2) × (3 × 2)
     • -60 = -5 × 2 × 3 × 2. ध्यान रखिये कि ऋणात्मक अंकों की सम संख्या वही अंक गुणनफल के रूप में देती है। उदाहरण के लिए, -5 × 2 × -3 × -2 भी 60 के बराबर होता है।

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   दी गयी संख्या को दो पंक्तियों वाली तालिका में लिखें: जबकि छोटे अंकों का गुणनखंड ज्ञात करना आसान है, बड़े अंको के गुणनखंड ज्ञात करना चुनौतीपूर्ण हो सकता है। हममें से कई लोगों को 4 से 5 अंकों वाली संख्या को सिर्फ मुजबानी रूप से इसके अभाज्य गुणनखण्डों में विभाजित करने में काफी मुश्किल हो सकती है। सौभाग्यवश, तालिका की मदद से आप इस प्रक्रिया को आसानी से कर सकते हैं। दी गयी संख्या को T-आकार की दो पंक्तियों वाली तालिका में लिखें – आप इस तालिका का उपयोग गुणनखंड की बढ़ती सूचि के लिए करेंगे।

   • हमारे उद्देश्य के लिए, हम 4 अंकों वाली संख्या 6,552 का गुणनखंड ज्ञात करेंगे।

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   इस संख्या को इसके निम्नतम अभाज्य गुणनखंड से विभाजित करें: अपनी संख्या को निम्नतम अभाज्य गुणनखंड (1 के अलावा) से विभाजित कीजिये जिससे कोई शेषफल न बचें। अभाज्य गुणनखंड को बायीं ओर लिखें तथा प्राप्त उत्तर को इसकी बगल में दायीं ओर लिखें। जैसा ऊपर बताया गया है, सम संख्या का गुणनखंड प्राप्त करना आसान होता है क्योंकि इनका निम्नतम अभाज्य गुणनखंड हमेशा 2 होता है। दूसरी तरफ, विषम संख्या के मामले में यह निम्नतम अभाज्य गुणनखंड अलग होता है।

   • हमारे उदहारण में, चूँकि 6,552 सम संख्या है, हम जानते हैं कि इसका निम्नतम अभाज्य गुणनखंड 2 होगा। 6,552 ÷ 2 = 3,276, तालिका के बायीं ओर हम 2 लिखेंगे, तथा दायीं ओर 3,276 लिखेंगे।

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   इसी प्रकार गुणनखंड प्राप्त करते जाईये: इसके बाद, दायीं ओर स्थित संख्या को इसके निम्नतम अभाज्य गुणनखंड से विभाजित कीजिये। अभाज्य गुणनखंड को बायीं ओर लिखें, तथा प्राप्त हुई संख्या को दायीं ओर इसके बाजु में लिखें। इस प्रक्रिया को करते जाइए – हर पुनरावृत्ति के पश्चात् दायीं ओर स्थित संख्या घटती जायेगी।

   • इस प्रक्रिया को आगे बढाते है। 3,276 ÷ 2 = 1,638, इसलिए बायीं तरफ हम फिर से 2 लिखेंगे, तथा दायीं ओर हम 1,638 लिखेंगे। 1,638 ÷ 2 = 819, इसलिए हम 2 को बायीं ओर लिखेंगे तथा 819 इसके नीचे दायीं ओर लिखेंगे।

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   विषम संख्या के लिए इसके लघु अभाज्य गुणनखंड से शुरुआत करें: सम संख्या की अपेक्षा विषम संख्या का निम्नतम अभाज्य गुणनखंड प्राप्त करना ज्यादा चुनौतीपूर्ण होता है, क्योंकि सम संख्या की तरह इनका निम्न अभाज्य गुणनखंड 2 नहीं होता। जब आपको विषम संख्या दी गयी हो, तो 2 के अलावा छोटी अभाज्य संख्या - 3, 5, 7, 11, ....से विभाजित कीजिये – जब तक आपको ऐसी निम्नतम संख्या न मिले जो बिना शेषफल के विभाजित करे। यह संख्या निम्नतम अभाज्य गुणनखंड होगी।

   • हमारे उदाहरण में, हम 819 पर पहुंचे हैं। 819 विषम संख्या है इसलिए इसका निम्नतम अभाज्य गुणनखंड 2 नहीं होगा। फिर से 2 लिखने के बजाय आप अगली अभाज्य संख्या 3 को लीजिये। 819 ÷ 3 = 273, जिसमे कोई शेषफल नहीं बचता, इसलिए हम 3 तथा 273 लिखेंगे।
   • गुणनखण्डों का पता लगते समय, आपको सभी अभाज्य संख्याओं से कोशिश करनी चाहिए। यदि इस कोशिश में आप एक भी संख्या द्वारा पूर्ण विभाजन करने में असमर्थ रहें तो हो सकता है कि वह संख्या अभाज्य संख्या है, अतः गुणनखंड प्राप्त करने की प्रक्रिया समाप्त हो जाएगी।

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   जब तक आप 1 पर न पहुँच जाएं, इसे जारी रखें: दायीं ओर संख्या को अभाज्य गुणनखंड द्वारा विभाजित करना जारी रखें, जब तक आपको अभाज्य संख्या प्राप्त न हो जाये। इस संख्या को इसी से विभाजित करें – इससे बायीं ओर वही संख्या आ जाएगी, तथा दायीं ओर संख्या 1 होगी।

   • इस गुणनखंड की प्रक्रिया को समाप्त कीजिये। विस्तृत गुणनखंड प्रक्रिया के लिए नीचे देखें:
     • फिर से 3 से विभाजित करें: 273 ÷ 3 = 91, कोई शेषफल नहीं, इसलिए हम 3 तथा 91 लिखेंगे।
     • चलिए फिर से 3 से कोशिश करते हैं: संख्या 91 का 3 गुणनखंड नहीं है, न ही अगला अभाज्य अंक 5 इसका गुणनखंड है, 91 ÷ 7 = 13, कोई शेषफल नहीं बचता, अतः हम 7 तथा 13 लिखेंगे।
     • फिर से 7 से कोशिश करेंगे: 13 का 7 गुणनखंड नहीं है, न ही 11 है, लेकिन इसका गुणनखंड वही संख्या है: 13 ÷ 13 = 1, इसलिए तालिका समाप्त करते हुए, हम 13 तथा 1 लिखेंगे। हम अब गुणनखंड प्रक्रिया को समाप्त कर सकते हैं।

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   तालिका के बायीं ओर दी गयी संख्याओं का प्राप्त गुणनखंड के रूप में उपयोग कीजिये: जब एक बार दायीं ओर 1 मिल जाये, आपका कार्य समाप्त हुआ। तालिका की बायीं ओर प्राप्त हुई संख्या आपके गुणनखंड हैं। दूसरे शब्दों में, इन सभी गुणनखण्डों का गुणनफल सबसे ऊपर लिखी हुई संख्या होगी। यदि समान गुणनखंड की पुनरावृत्ति हो, तो आप घातांक द्वारा इसे दर्शा सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि प्राप्त हुए गुणनखंड में, चार बार संख्या 2 प्राप्त हुई है तो आप इसे 2 × 2 × 2 × 2 लिखने के बजाय 24 के रूप में लिख सकते हैं।

   • हमारे उदाहरण में, 6,552 = 23 × 32 × 7 × 13, यह संख्या 6,552 के प्राप्त सम्पूर्ण अभाज्य गुणनखंड हैं। इन संख्याओं का किसी भी अनुक्रम में प्राप्त गुणनफल 6,552 ही होगा।

सलाह

• इसके अलावा अभाज्य संख्या की अवधारणा महत्त्वपुर्ण है: यह ऐसी संख्या है, जिसके गुणनखंड 1 तथा वही संख्या होती है। 3 एक अभाज्य संख्या है क्योंकि इसके गुणनखंड 3 तथा 1 हैं। दूसरी तरफ 4 के दो गुणनखंड 2 हैं। ऐसी संख्या जो अभाज्य संख्या नहीं है उसे संयुक्त संख्या कहते हैं।
• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, तथा 23 लघु अभाज्य संख्याएँ हैं।
• समझिये कि एक संख्या दूसरी संख्या की गुणनखंड है, यदि यह पूरी तरह उस संख्या को विभाजित करती है – इसका मतलब है, बड़ी संख्या को छोटी संख्या पूर्ण रूप से विभाजित करे तथा कोई शेषफल न बचे। उदाहरण के लिए, 24 का गुणनखंड 6 है, क्योंकि 24 ÷ 6 = 4 कोई शेषफल नहीं। दूसरी ओर 25 का गुणनखंड 6 नहीं है।
• कुछ अंकों का गुणनखंड त्वरित प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन यह विधि हर बार कारगर है तथा बोनस के रूप में सभी गुणनखंड आरोही क्रम में प्राप्त होते हैं।
• याद रखें कि हम सिर्फ “प्राकृत संख्या” की बात कर रहें हैं : 1, 2, 3, 4, 5... हम इसमें ऋणात्मक संख्या नहीं ले रहें हैं।
• यदि किसी भिन्न के हल में स्थित संख्या को जोड़ने पर प्राप्त संख्या 3 की गुणज है, तो उस संख्या का 3 गुणनखंड होगा। ( 819 = 8+1+9 जो कि = 18, 1+8 =9. तीन संख्या 9 का गुणनखंड है इसलिए यह 819 का भी गुणनखंड होगा।

चेतावनी

• अतिरिक्त अनावश्यक कार्य न करें। एक बार जब आपने एक गुणनखंड को हटा दिया है, तो इसे पुनः जांचने की आवश्यकता नहीं है। एक बार जब यह निश्चित हो गया कि 819 का गुणनखंड 2 नहीं है, तो इस प्रक्रिया के दौरान हमें 2 के लिए आगे जाँच नहीं करना है।

चीजें जिनकी आपको आवश्यकता होगी

• पेपर
• लेखनी, खास कर के पेंसिल तथा रबर
• कैलकुलेटर (वैकल्पिक)

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कौन सी संख्या 24 और 18 का सांझा गुणनखंड है?

24 का गुणनखंड क्या है?

18 के गुणनखंड कौन कौन से हैं?

20 और 28 का सार्व गुणनखंड क्या है?