Que : 492. सही विकल्प चुनिए : Show 1. यदि द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल समान हों तो समीकरण के विविक्तकर का मान होगा: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 2. समीकरण x2 + x – 1 = 0 के मूलों की प्रकृति होगी : (A) वास्तविक और समान (B) वास्तविक और भिन्न (C) कोई वास्तविक मूल नहीं (D) इनमें से कोई नहीं 3. किसी द्विघात समीकरण में चर कि अधिकतम घात होती है: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 4. द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 का विविक्तकर होगा: (A) D = b2 – 4ac (B) D = 4ac –b2 (C) D = b3 – 4ac (D) D = 4ac – b3 5. निम्नलिखित में से किस द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक होंगे : (A) x2 + 9x + 4 = 0 (B) x2 – 4x + 5 = 0 (C) x2 + x + 2 = 0 (D) x2 + 5x + 8 = 0 6. द्विघात समीकरण 2x2 – 7x + 6 = 0 के मूल होंगे : (A) 3/1, 2 (B) –3/2, –2 (C) –3/2, 2 (D) 3/2, –2 Answer: (1) (a), (2) (b), (3) (b), (4) (a), (5) (a) (6) (a) प्रश्नावली 4.4 Q1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए | यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए : (i) 2x2 - 3x + 5 = 0 (ii) 3x2 - 4√3x + 4 = 0 (iii) 2x2 + 6x + 3 = 0 {नोट - मूलों की प्रकृति ज्ञात करने के लिए विवितकर (Discriminant) अर्थात D = b2 - 4ac ज्ञात करेंगे | यदि D का मान 0 है (D = 0) तो प्रकृति - दो वास्तविक और समान मूल होंगे, और D का मान 0 से अधिक अर्थात धनात्मक है (D > 0) तो प्रकृति - दो वास्तविक और असमान मूल होगा और यदि D का मान 0 से कम है अर्थात ऋणात्मक है (D < 0) तो मूल का कोई अस्तित्व नहीं होगा अर्थातकोई मूल नहीं होगा |} हल : (i) 2x2 - 3x + 5 = 0 a = 2, b = -3 और c = 5 D = b2 - 4ac = (-3)2 - 4 × 2 × 5 = 9 - 40 = -31 चूँकि D का ऋणात्मक मान यह बताता है कि D < 0 से अत: द्विघात समीकरण का कोई मूल नहीं है | हल : (ii) 3x2 - 4√3x + 4 = 0 a = 3, b = - 4√3 और c = 4 D = b2 - 4ac = (-4√3)2 - 4 × 3 × 4 = 48 - 48 = 0 चूँकि D = 0 है अत: इसके दो वास्तविक एवं समान मूल होंगे |  हल : (iii) 2x2 + 6x + 3 = 0 a = 2, b = 6 और c = 3 D = b2 - 4ac = (6)2 - 4 × 2 × 3 = 36 - 24 = 12 चूँकि D > 0 से अत: इस समीकरण के दो वास्तविक एवं असमान मूल होंगे | Q2. निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों | (i) 2x2 + kx + 3 = 0 (ii) kx (x - 2 ) + 6 = 0 हल : (i) 2x2 + kx + 3 = 0 a = 2, b = k और c = 3 चूँकि दिए गए समीकरण के दो बराबर मूल है अर्थात हल : (ii) kx (x - 2 ) + 6 = 0 => kx2 - 2kx + 6 = 0 a = k, b = - 2k, c = 6 चूँकि दिए गए समीकरण के दो बराबर मूल है अर्थात Q3. क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m2 हो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए | हल : माना आम की बगिया की चौड़ाई = x m तो लंबाई = 2x m अब, लंबाई × चौड़ाई = क्षेत्रफल
अत: चौड़ाई = 20 m और लंबाई = 2x = 2 × 20 = 40 m हाँ, ऐसी आम की बगिया संभव है | Q4. क्या निम्न स्थिति संभव है ? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए | दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है| चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था | हल : माना एक मित्र की वर्त्तमान आयु = x वर्ष तो दुसरे मित्र की वर्त्तमान आयु = 20 - x वर्ष 4 वर्ष पूर्व उनकी आयु का गुणनफल = => (x - 4) (20 - x - 4) = 48 => (x - 4) (16 - x) = 48 => 16x - x2 - 64 + 4x = 48 => 20x - x2 - 64 - 48 = 0 => 20x - x2 - 112 = 0 => x2 - 20x + 112 = 0 इस समीकरण के मूल का अस्तित्व है या नहीं यह जाँच करेंगे | a = 1, b = - 20 और c = 112 D = b2 - 4ac = (-20)2 - 4(1)(112) = 400 - 448 = - 48 चूँकि D < 0 है इसलिए इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है अत: यह संभव नहीं है | Q5. क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400m2 के एक पार्क को बनाना संभव है ? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए | हल : माना पार्क का लंबाई = x m और चौड़ाई = y m तो, 2(लंबाई + चौड़ाई) = परिमाप 2(x + y) = 80 m x + y = 40 m y = 40 - x m अत: चौड़ाई = 40 - x m अब, लंबाई × चौड़ाई = क्षेत्रफल x(40 - x) = 400 => 40x - x2 = 400 => x2 - 40x + 400 = 0 => x2 - 20x - 20x + 400 = 0 => x(x - 20) - 20(x - 20) = 0 => (x - 20) (x -20) = 0 => x - 20 = 0, x - 20 = 0 => x = 20 और x = 20 अत: पार्क की लंबाई = 20 मीटर तो चौड़ाई = 40 - 20 = 20 मीटर ATP Education ATP Education समीकरण x 2 4x 1 0 के मूलों की प्रकृति क्या है?Detailed Solution
यदि , D < 0 है,तो मूल अवास्तविक और समान नहीं हैं। इसलिए समीकरण के मूल वास्तविक और समान होंगे।
मूलों की प्रकृति क्या है?मूलों की प्रकृति (Roots of Nature)
द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिये b2 − 4ac = 0 हो, तो मूल वास्तविक और सामान होता है. यदि एक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के लिये b2 − 4ac < 0 हो, तो मूल काल्पनिक होता है.
समीकरण के मूल कैसे निकाले जाते हैं?मूल मूल निकालने की विधियाँ (Root-finding algorithm) वे आंकिक विधियाँ (अर्थात एल्गोरिद्म) हैं जिनकी सहायता से किसी समीकरण f(x) = 0 के दिये होने पर यदि x का कोई ऐसा मान निकाल सकें जो इस समीकरण को संतुष्ट करता हो। x का वह मान फलन f का 'मूल' (root) कहलाता है। इसे समीकरण f(x) = 0 का 'हल' (solution) भी कहते हैं।
समीकरण के वास्तविक मूल कब होंगे?(v) यदि किसी द्विघात समीकरण में, x 2 का गुणांक और अचर पद विपरीत चिन्हों के हों तो उस द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल होते हैं। (vi) यदि किसी द्विघात समीकरण में, x 2 का गुणांक और अचर पद एक चिन्ह के हों तथा x का गुणांक शून्य हो, तो उस द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता हैं ।
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समीकरण x 2 4x 1 0 के मूलों की प्रकृति क्या होगा - sameekaran x 2 4x 1 0 ke moolon kee prakrti kya hoga
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