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एक पूर्णांक (लैटिन पूर्णांक से जिसका अर्थ है "संपूर्ण") बोलचाल की भाषा में एक संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, २१,४,० और −२०४८ पूर्णांक हैं, जबकि ९.७५, 1/१/२ पूर्णांक नहीं हैं। पूर्णाकं संख्या सभी धनात्मक प्रकृतिक संख्या, सभी ॠणात्मक प्राकृतिक संख्या और शून्य के समूह को कहते हैं[1] -३,-२,-१,०,१,२,३ सभी धनात्मक, ऋणात्मक तथा शून्यात्मक संख्याओं को पूर्णांक संख्या कहते हैं[2] जैसे -१,-२,०,१,२ सभी पूर्णांकों में समूचे संग्रह को जोड़ से सूचित किया जाता है, जोड़ जर्मन शब्द से लिया गया है अर्थात गिनना पूर्णांक दो प्रकार के होते हैं धनात्मक पूर्णांक = जिन संख्याओं के आगे धनात्मक चिह्न लगा हो उन्हें धनात्मक पूर्णांक कहते हैं। जैसे १, २, ३... ऋणात्मक पूर्णांक = जिन संख्याओं के आगे ऋणात्मक चिह्न लगा हो उन्हें ऋणात्मक पूर्णांक कहते हैं जैसे -१, -२.. शुन्य पूर्णांक तो है लेकिन यह ना तो ऋणात्मक पूर्णांक है ना धनात्मक पूर्णांक है।[कृपया उद्धरण जोड़ें] बाहरी कड़ियाँ[संपादित करें]
सन्दर्भ[संपादित करें]
पूर्णांक संख्या ( Integer numbers ):इस लेख में पूर्णांक संख्या किसे कहते हैं ( What are Integer Number ),संख्या – रेखा पर पूर्णांकों का निरूपण, पूर्णांक संख्या के प्रकार, पूर्णांक संख्या के गुणधर्म, योगात्मक प्रतिलोम,पूर्णांकों का निरपेक्ष मान ( Absolute Value ), FAQ,अभ्यास -3 (a ) का हल भली भांति समझाया गया है l पूर्णांक संख्या किसे कहते हैं : ( What are Integers in hindi )पूर्ण संख्याओं के साथ ऋण चिन्ह वाली संख्याओं को भी मीला लेने पर हमें पूर्णांक संख्याएँ प्राप्त होती हैं l पूर्णांक = पूर्ण संख्या + ( -1, -2, -3, -4,……….) पूर्ण संख्या = प्राकृतिक संख्या + 0 ……, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,….. इन सभी संख्याओं को पूर्णांक ( Integers ) कहते हैं l पूर्णांक को “ Z “ से दर्शाया जाता है l 1, 2, 3,…..अर्थात सभी प्राकृतिक संख्याएँ, धन पूर्णांक और -1, -2, -3,….ऋणात्मक संख्याएँ और शून्य ( 0 ) मिलकर पूर्णांक बनाता है l शून्य मात्र एक ऐसा पूर्णांक है, जो न तो धनात्मक है न ऋणात्मक है l धन पूर्णांकों को +1, +2, +3,…… के रूप में भी लिखते हैं l प्रायः इनके पूर्व धन चिन्ह को नहीं लिखा जाता है l अतः संख्याएँ 1, 2, 3,…. धन पूर्णांक हैं l पूर्णांकों, पूर्ण संख्याओं तथा प्राकृतिक संख्याओं को निम्नाकित चित्र से समझा जा सकता है – संख्या – रेखा पर पूर्णांकों का निरूपण :एक सीधी रेखा खींचिए तथा रेखा के लगभग मध्य में शून्य ( 0 ) लिखिए l शून्य के दोनों ओर सामान दूरी पर संख्याओं को दर्शाइए l शून्य के दायीं ओर की संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक होती हैं तथा शून्य के बायीं ओर की संख्याएँ ऋणात्मक पूर्णांक होती हैं l जैसा कि निम्न चित्र में दिखाया गया है – पूर्णांकों के प्रकार:पूर्णांक तीन प्रकार के होते हैं – धनात्मक पूर्णांक :ऐसे प्रत्येक पूर्णांक जिनका चिन्ह धनात्मक होता है धनात्मक पूर्णांक कहलाते हैं l जैसे – 1, 5, 7, 12, 75,……..आदि lशून्य :शून्य “0” को शून्य पूर्णांक कहते हैं l इसका कोई चिन्ह नहीं होता हैऋणात्मक पूर्णांकऐसे प्रत्येक पूर्णांक जिनका चिन्ह ऋणात्मक होता है ऋणात्मक पूर्णांक कहलाते हैं l जैसे : -5, -7, -21, -35,….आदि l
पूर्णांक और प्राकृतिक संख्या में अन्तर :
पूर्णांक और प्राकृतिक संख्या में अन्तर :
पूर्णांक संख्या के गुणधर्म :
योगात्मक प्रतिलोम :यदि दो पूर्णांकों a तथा b का योग शून्य हो तो a और b को परस्पर योगात्मक प्रतिलोम कहते हैं l चूँकि ( + a ) + ( -a ) = 0 अतः किसी पूर्णांक a के संगत विपरीत चिन्ह वाले पूर्णांक (- a )को उसका योगात्मक प्रतिलोम कहते हैं l जैसे : चूँकि ( + 5 ) + ( – 5 ) = 0 अतः + 6 और – 6 परस्पर योगात्मक प्रतिलोम हैं l नोट : चूँकि 0 + 0 = 0 अतः शून्य का योगात्मक प्रतिलोम स्वयं शून्य ही है l पूर्णांकों का निरपेक्ष मान : ( Absolute Value )संख्या रेखा खींचिए , इस पर पूर्णांकों को प्रदर्शित कीजिए l देख कर बताइए कि –
हम पाते हैं कि दोनों दूरियों का परिमाण 5 ( बराबर ) है, इस प्रकार 5 को हम + 5 और – 5 का निरपेक्ष मान या परिमाण कहेंगे l -5 के निरपेक्ष मान को l -5 l और + 5 के निरपेक्ष मान को भी l + 5 l लिखते हैं l इस प्रकार l – 5 l = 5 = l + 5 l , l -7 l = 7 = l + 7 l l -9 l = 9 = l + 9 l l 0 l = 0 FAQ ( महत्वपूर्ण प्रश्न )Q. : पूर्णांक संख्या किसे कहते हैंA. : पूर्ण संख्याओं के साथ ऋण चिन्ह वाली संख्याओं को भी मीला लेने पर हमें पूर्णांक संख्याएँ प्राप्त होती हैं l Q.: सबसे छोटा पूर्णांक क्या होता हैA.: कोई भी पूर्णांक सबसे छोटा नहीं होता है Q.- : विषम पूर्णांक किसे कहते हैंA. – :
ऐसे सभी पूर्णांक जो 2 से पूरा – पूरा विभाजित न किया जा सके विषम पूर्णांक कहलाते हैं l Q.-: पूर्णांक संख्या का उदाहरणA. – : कोई भी संख्या धात्मक या ऋणात्मक हो पूर्णांक होती है l जैसे -15, 2, 75, -97, 0, 105 …. आदि l Q.- : ऋणात्मक पूर्णांक किसे कहते हैंA. – : ऐसे पूर्णांक जिनका चिन्ह ऋण होता है ऋणात्मक पूर्णांक कहलाते हैं l जैसे, -5, -21, -97, -151,…..आदि l Q.- : धनात्मक पूर्णांक किसे कहते हैंA. – : ऐसे पूर्णांक जिनका चिन्ह धन होता है धनात्मक पूर्णांक कहलाते हैं l जैसे, 12, 21, 97, 155,…..आदि l Q.- : पूर्ण संख्या और पूर्णांक में अंतर क्या हैA. – : पूर्ण संख्या में शून्य तथा प्राकृतिक संख्याओं का समूह होता है
और इसे “ W ” से दर्शाया जाता है l Q.- : सबसे बड़ा पूर्णांक कौन सा हैA. – : सबसे बड़ा पूर्णांक कोई नहीं है Q.-1 : पूर्णांक संख्या A. – 1 : सभी धनात्मक संख्याएँ , शून्य तथा ऋणात्मक संख्याओं के समूह को पूर्णांक संख्या कहते हैं l Q.-2 : पूर्णांक का मतलब बताएँ A. – 2 : पूर्णांक का मतलब सभी धनात्मक संख्याएँ , शून्य तथा सभी ऋणात्मक संख्याओं का समूह l जैसे – ……, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,….. Q.-3 : पूर्णांक संख्या क्या होती है A. – 3 : पूर्ण संख्याओं के साथ ऋण चिन्ह वाली संख्याओं को भी मीला लेने पर हमें पूर्णांक संख्याएँ प्राप्त होती हैं l Q.-4 : पूर्णांक की परिभाषा A. – 4 : पूर्ण संख्याओं के साथ ऋण चिन्ह वाली संख्याओं को भी मीला लेने पर हमें पूर्णांक संख्याएँ प्राप्त होती हैं l पूर्णांक = पूर्ण संख्या + ( -1, -2, -3, -4,……….) पूर्ण संख्या = प्राकृतिक संख्या + 0 ……, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,….. इन सभी संख्याओं को पूर्णांक संख्या( Integers ) कहते हैं l Q.-6 : पूर्णांक कैसे निकालते हैं A. – 6 : पूर्णांक निकालने का कोई सूत्र नहीं होता है , कोई भी संख्या पूर्णांक होती है l Q.-7 : पूर्णांक संख्या क्या होती है in hindi A. – 7 : पूर्ण संख्याओं के साथ ऋण चिन्ह वाली संख्याओं को भी मीला लेने पर हमें पूर्णांक संख्याएँ प्राप्त होती हैं l Q.- 8 : पूर्णांक क्या होते हैं A. – 8: ऋणात्मक संख्याएँ, धनात्मक संख्याएँ और शून्य सभी पूर्णांक होते हैं l Q.-9 : पूर्णांक किसे कहते हैं उदाहरण सहित A. – 9 : पूर्ण संख्याओं के साथ ऋण चिन्ह वाली संख्याओं को भी मीला लेने पर हमें पूर्णांक संख्याएँ प्राप्त होती हैं l जैसे ……, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,….. इन सभी संख्याओं को पूर्णांक संख्या( Integers ) कहते हैं l Q.-16 : पूर्णांक संख्या in English A. – 16 : integer Q. – 17 : इन्टिजर नंबर डेफिनिशन इन हिंदी A. – 17 : पूर्ण संख्याओं के साथ ऋण चिन्ह वाली संख्याओं को भी मीला लेने पर हमें पूर्णांक संख्याएँ प्राप्त होती हैं l Q. – 18 : integer number A. – 18 : पूर्ण संख्याओं के साथ ऋण चिन्ह वाली संख्याओं को भी मीला लेने पर हमें पूर्णांक संख्याएँ प्राप्त होती हैं l Q. – 19 : integer in hindi A. – 19 : पूर्ण संख्याओं के साथ ऋण चिन्ह वाली संख्याओं को भी मीला लेने पर हमें पूर्णांक संख्याएँ प्राप्त होती हैं l Q. – 20 : integer meaning A. – 20 : पूर्णांक Q. – 21 : integer number in hindi A. – 21 : पूर्ण संख्याओं के साथ ऋण चिन्ह वाली संख्याओं को भी मीला लेने पर हमें पूर्णांक संख्याएँ प्राप्त होती हैं l Q. – 22 : integer definition A. – 22 : पूर्ण संख्याओं के साथ ऋण चिन्ह वाली संख्याओं को भी मीला लेने पर हमें पूर्णांक संख्याएँ प्राप्त होती हैं l Q. – 23 : integer definition and examples A. – 23 : पूर्ण संख्याओं के साथ ऋण चिन्ह वाली संख्याओं को भी मीला लेने पर हमें पूर्णांक संख्याएँ प्राप्त होती हैं l जैसे……, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,….. Q. – 24 : positive integer definition A. – 24 :ऐसे पूर्णांक जिनका चिन्ह धन होता है धनात्मक पूर्णांक कहलाते हैं l जैसे, 12, 21, 97, 155,…..आदि l Q. – 25 : is zero an integer A. – 25 : yes Q. – 26 : integer symbol A. – 26 : integer symbol “ Z ” Q. – 27 : Can integers be negative A. – 27 : Yes Q. – 28 : is a decimal an integer A. – 28 : No Q. – 29 : Set of integers A. – 29 : ……, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,….. अभ्यास – 3 ( a ) :निम्नांकित सारणियों में रिक्त स्थानों की पूर्ति के लिए सारणी के नीचे चार विकल्प दिए गए हैं l जिनमें से केवल एक ही सही है l सही विकल्प चुन कर रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए l हल- Q.-1 Ans. ( ii ) – 13 Q.-2 Ans. ( iii ) 14 Q-3. निम्नलिखित को पूर्णांक के रूप में लिखिए l पूरब को धन दिशा तथा समुद्र तल से ऊँचाई को धन दिशा मानिए l ( i ) शून्य से नीचे 40 सेल्सियस का तापमान ( ii ) 7 कदम पूरब ( iii ) ₹ 3.28 की हानि ( iv ) 18 मी पश्चिम का विस्थापन ( v ) समुद्र तल से 1,000 मीटर ऊँचाई हल- ( i ) – 40 सेल्सियस ( ii ) +7 ( iii ) – ₹ 3.28 ( iv ) -18 ( v ) + 1,000 मीटर Q-4. निम्नलिखित पूर्णांकों के योगात्मक प्रतिलोम लिखिए : ( i ) + 9 ( ii ) – 21 ( iii ) + 39 ( iv ) – 41 ( v ) + 91 हल – ( i ) – 9 ( ii ) + 21 ( iii ) – 39 ( iv ) + 41 ( v ) – 91 Q-5. संख्या – रेखा खींचिए l उस पर निम्नांकित पूर्णांकों को प्रदर्शित कीजिए : ( क ) +4 ( ख ) – 9 ( ग ) + 7 ( घ ) – 3 ( ङ ) -6 हल – ( क ) E बिन्दु -7 है l ( ख ) बिन्दु B, -3 को निरुपित करता है l ( ग ) बिन्दु B का विपरीत बिन्दु C है l ( घ ) बिन्दु D से निरुपित पूर्णांक + 5 है l बिन्दु K से निरुपित पूर्णांक – 5 है l बिन्दु L से निरुपित पूर्णांक + 6 है l ( ङ ) बिन्दु D का विपरीत K है l बिन्दु K का विपरीत D है l बिन्दु L का विपरीत M है l Q-7. निम्नांकित के बीच के सभी पूर्णांक लिखिए l ( क ) -2 और + 3 ( ख ) 0 और 6 ( ग ) -4 और 4 ( घ ) -5 और + 2 ( ङ ) -3 और + 5 ( च ) -8 और 4 हल – ( क ) -1, 0, +1, +2 ( ख ) 1, 2, 3, 4, 5 ( ग ) -3, -2, -1, 0,+1, +2, +3 ( घ ) -4, -3, -2, -1, 0, +1 ( ङ ) -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4 ( च ) -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 Q-8. निम्नांकित संख्या – रेखा देखिए इसकी सहायता से निम्नांकित पूर्णांकों के जोड़े के बीच के पूर्णांकों को आरोही ( बढ़ते हुए ) क्रम में लिखिए : ( क ) 2, 5 ( ख ) -4, 0 ( ग ) 3, 8 ( घ ) 0, 4 ( ङ ) -5, -2 ( च ) -1, 4 हल – ( क ) 3, 4 ( ख ) -3, -2, -1 ( ग ) 4, 5, 6, 7 ( घ ) 1, 2, 3 ( ङ ) -4, -3 ( च ) 0, 1, 2, 3 Q-9. निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए : ( क ) l -13 l ( ख ) l 12 l ( ग ) l – 37 l ( घ ) l 0 l ( ङ ) l -47 l ( च ) l 101 l हल – ( क ) l -13 l का मान = 13 ( ख ) l 12 l का मान = 12 ( ग ) l – 37 l का मान = 37 ( घ ) l 0 l का मान = 0 ( ङ ) l -47 l का मान = 47 ( च ) l 101 l का मान = 101 Q-10. अपनी अभ्यास पुस्तिका में सत्य या असत्य कथन की पहचान कर लिखिए : ( क ) सबसे छोटा पूर्णांक शून्य है l ( ख ) शून्य का विपरीत नहीं होता है l ( ग ) – 17 > – 5 ( घ ) एक धनात्मक पूर्णांक अपने योगात्मक प्रतिलोम से बड़ा होता है l ( ङ ) एक ऋणात्मक पूर्णांक अपने योगात्मक प्रतिलोम से बड़ा होता है l ( च ) शून्य एक पूर्णांक नहीं है l ( छ ) शून्य का योगात्मक प्रतिलोम शून्य है l हल – ( क ) असत्य ( ख ) सत्य ( ग ) असत्य ( घ ) सत्य ( ङ ) असत्य ( च ) असत्य ( छ ) सत्य अन्य पढ़ें :प्राकृतिक संख्या पूर्ण संख्या परिमेय संख्या कोण कितने प्रकार के होते हैं त्रिभुज किसे कहते हैं |
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