इस पेज पर आप गणित विषय के महत्वपूर्ण अध्याय अनुपात और समानुपात की जानकारी विस्तार से पढ़ने वाले हैं। पिछले पेज पर हमने संख्या पद्धति और
सांख्यिकी योग्यता की जानकारी शेयर की हैं तो उन पोस्टों को भी पढ़े। चलिए अब अनुपात और समानुपात की समस्त जानकारी को पढ़ते और समझते हैं। अनुपात किसे कहते हैंजब दो सजातीय राशियों की तुलना भाग की क्रिया द्वारा की जाती हैं तो प्राप्त भागफल को अनुपात कहा जाता हैं। गणित में अनुपात एक ऐसी संख्या है जो दो सजातीय राशियों अर्थात समान राशियों के बीच के संबंध को दर्शाती हैं। इससे यह पता चलता हैं कि एक राशि की अपेक्षा दूसरी राशि कितनी गुना कम या ज्यादा हैं। अनुपात को प्रदर्शित करने के लिए संकेत (:) का प्रयोग किया जाता हैं। असमान राशियों में अनुपात नहीं होता है। यदि a तथा b दो सजातीय राशियां हो, तो a तथा b के अनुपात को a/b या a : b के रूप में लिखा जाता हैं और a अनुपात b पढ़ा जाता हैं। अनुपात में दोनों राशियों को पद कहा जाता हैं पहली राशि पूर्व पद या प्रथम पद और दूसरी राशि उत्तर पद या द्वितीय पद कहलाती हैं। नोट :- ‘a ‘ पूर्व पद तथा ‘ b ‘ उत्तर पद हैं। जैसे :- a : b उदाहरण :- यदि दो पेड़ों की उँचाइयों का अनुपात 2 : 3 है तो इसका अर्थ है कि यदि पहले पेड़ की ऊंचाई 2 मीटर हैं तो दूसरे पेड़ की ऊंचाई 3 मीटर होगी। अनुपात के प्रकारमुख्यतः अनुपात 6 प्रकार के होते हैं।
1. सरल अनुपात (Simple Ratio)यदि किसी अनुपात के दोनों पद आपस में सहअभाज्य हो, तो ऐसे अनुपात को सरल अनुपात कहाँ जाता हैं। उदाहरण :-
2. मिश्रित अनुपात (Compound Ratio)दो या दो से अधिक अनुपात के पूर्व पदों के गुणनफलों तथा अंतिम पदों के गुणनफल से बने नए अनुपात को मिश्रित अनुपात कहते हैं। उदाहरण :- दो अनुपातों (a : b) तथा (c : d) का मिश्रित अनुपात (ac : bd) होगा। इसी तरह 4 : 5, 7 : 9 तथा 2 : 3 का मिश्रित अनुपात 4 × 5 × 2 : 7 × 9 × 3 अर्थात 40 : 189 होगा। 3. विलोमानुपात (Inverse or Reciprocal Ratio)किसी अनुपात के पदों को पलटने पर जो नया अनुपात प्राप्त होता हैं उसे विलोमानुपात कहते हैं। उदाहरण :- 5 : 7 का विलोमानुपात 1/5 : 1/7 होगा। 4. वर्गानुपात (Duplicate Ratio)यदि किसी अनुपात को उसी के साथ मिश्रित करके एक नया अनुपात बनाया जाता हैं उसे वर्गानुपात कहते हैं। उदाहरण :- 4 : 5 का वर्गानुपात 4² : 5³ अर्थात 4 × 4 : 5 × 5 या 16 : 25 होगा।
5. चतुर्थानुपात (Quadrature)यदि चार अशून्य राशियां a, b, c तथा d समानुपात में हैं, तो d को a, b, c का चतुर्थानुपाती कहते हैं। उदाहरण :- a : b : : c : d 6. वित्तत समानुपात (Finance Ratio)तीन अशून्य संख्याएँ a, b तथा c वित्तत समानुपात में होगी तो उसे वित्तत समानुपात कहते हैं। a/b = b/c यदि a, b तथा c वित्तत समानुपाती में हैं, तो b² = ac यहाँ, b को मध्यानुपाती कहते हैं तथा c को तृतीयानुपाती कहते हैं। यदि a : b : : c : d हो, तो
अनुपात की विशेषताएं
समानुपात किसे कहते हैंदो अनुपात के बराबर भाग को समानुपात कहाँ जाता हैं जिसमें एक अनुपात दूसरे के बराबर होता हैं। अर्थात दो शब्दों (सम + अनुपात = समानुपात) के सम्मलित रूप जिसका अर्थ बराबर या समरूप होता हैं। दूसरे शब्दों में, दो चर राशियाँ x तथा y समानुपाती कही जाती हैं यदि y/x का मान नियत हो. ऐसी स्थिति में, पहली राशि, दूसरी राशि के समानुपाती होती हैं। जैसे :- a : b : : c : d जब a/b = c/d हो, तो इसे समानुपात कहते हैं इसे a : b : : c : d लिखा जाता हैं। चार राशियों में से जब पहली राशि और दूसरी राशि का अनुपात तीसरी और चौथी राशि के अनुपात के बराबर हों तो वह समानुपात कहलाता हैं। यदि a : b :: c : d हो, तो ad : bc इसमें a तथा d को बाह पद तथा b और c को मध्य पद कहते हैं। यदि चार राशियाँ a, b, c तथा d इस प्रकार हैं कि a : b = c : d, तो a, b, c तथा d समानुपात में हैं अथवा यह कह सकते हैं कि चारों राशियाँ a, b, c तथा d समानुपाती हैं । समानुपात के प्रकारमुख्यतः समानुपात 5 प्रकार के होते हैं।
1. निरंतर समानुपात (Constant Proportion)यदि तीन संख्याएँ a, b और c निरंतर समानुपात में हो, तो हम कह सकते हैं कि a, b और c समानुपात में हैं। a/b = b/c अतः हम कह सकते हैं कि a पहला समानुपात c तीसरा समानुपात और b मध्य समानुपात हैं। 2. प्रत्यक्ष समानुपात (Direct Proportion)यदि x, y के प्रत्यक्ष समानुपाती हो तो किसी एक के बढ़ने या घटने पर दूसरे पर उसका सीधा प्रभाव पड़ेगा। यदि x बढ़ता हैं तो y भी बढ़ेगा और यदि x घटता हैं तो y भी घटेगा। 3. व्युत्क्रम समानुपात (Inverse Proportion)यदि x के बढ़ने पर y घटे और x के घटने पर y बढ़े तो इस समानुपात को व्युत्क्रम समानुपात कहते हैं। यदि x, y के व्युत्क्रमानुपाती हो यानी दोनों में किसी एक के बढ़ने या घटने पर दूसरे पर उसका व्युत्क्रम प्रभाव पड़ेगा। यदि चार राशियाँ समानुपात में हो तो किनारे की राशियों का गुणनफल बीच की राशियों के गुणनफल के बराबर होता हैं। माना, a, b, c, d चार राशियाँ समानुपात में हैं, तो a/b = c/d तब ad = bc यदि तीन राशियाँ a, b और c निरतंर समानुपात में हो, तो a : b = b : c तब ac = b², b मध्य समानुपात कहलाता हैं। यदि तीन राशियाँ समानुपात में हो तो पहली और तीसरी राशि का अनुपात, पहली और दूसरी राशि के अनुपात के समान होता हैं। यदि a : b : : b : c तो a : c = a² : b² 4. विततानुपाती (Financially Proportional)यदि तीन सजातीय राशियाँ इस प्रकार व्यवस्थित हो कि पहली व दूसरी राशि का अनुपात, दूसरी व तीसरी राशि के अनुपात के बराबर हो ये राशियाँ विततनुपाती कहलाती हैं। जैसे :- a : b = b : c 5. अनुलोमानुपाती (Proportional)यदि एक राशि के बढ़ने या घटने पर दूसरी राशि उसी अनुपात या क्रम में बढ़ती या घटती हैं तो वे अनुलोमानुपाती कहलाती हैं। जैसे :- 4 केले का मूल्य = 8 रु. हैं तो 12 केले का मूल्य = 24 रु. होगा। अनुपात और समानुपात के सूत्र1. पहली संख्या = (दूसरी × तीसरी)/चौथी 2. दूसरी संख्या = (पहली × चौथी)/तीसरी 3. तीसरी संख्या = (पहली × चौथी)/दूसरी 4. चौथी संख्या = (दूसरी संख्या × तीसरी संख्या)/पहली संख्या 5. यदि A : B = x : y, B : C = y : z हो, तो A : C = A/B × B/C = x/y × y/z = x : z 6. A : B = a : b तथा B : C = c : d हो, तो A : B : C = a : b 7. A : B = a : b, B : C = c : d, C : D = x : y हो, तो A : B : C : D = ac : bc : bd 8. x को a : b के अनुपात में बांटा जाए, तो (i).
पहला भाग = x × a/(a + b) 9. यदि किसी थैला में x रु. y रु. और z रु. के नोट a : b : c के अनुपात में हो तथा नोटों का कुल मूल्य A रु. हो, तो (i). x रु. के नोटों की संख्या = a/(xa + yb + zc) × A 10. संख्याएँ a, b, c और d में क्या जोड़ा या घटाया जाए कि वे समानुपाती हो जाए, तो अभीष्ट जोड़े या घटाया जाने वाला अंक = (bc – ad)/(a + b) – (b – c) अनुपात और समानुपात में अंतर
अनुपात और समानुपात के उदाहरणQ.1 4 और 32 का प्रथम समानुपाती क्या होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Q.2
9 और 4 का मध्य समानुपाती क्या होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Q.3 6 और 12 का तृतीय समानुपाती क्या होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Q.4 4 और 8 का प्रथम समानुपाती क्या होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Q.5 0.4 और 0.9 का मध्य समानुपाती क्या होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Q.6 9 : 15 : : 45 : ? हल:- प्रश्नानुसार, Q.7 5 : ? :: ? : 125 हल:- प्रश्नानुसार, Q.8 5 : 8 :: 150 : x हल:- प्रश्नानुसार, Q.9 3 : 5 :: 21 : ? हल:- प्रश्नानुसार, Q.10 4 , 48 और 16 का प्रथम समानुपाती बताइए? हल:-
प्रश्नानुसार, Q.11 10, 24 और 36 का तृतीय समानुपाती बताइए? हल:- प्रश्नानुसार, Q.12 1/4 : 1/8 :: 1/3 : x हल:- प्रश्नानुसार, Q.34 1/4 और 1/9 का मध्य समानुपाती ज्ञात कीजिए? हल:- प्रश्नानुसार, Q.13 16, 28 और 42 का तृतीय समानुपाती क्या होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Q.14 यदि A : B = 2 : 3 , B : C = 5 :
6 हो तो A : B : C का अनुपात क्या होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Q.15 यदि राम और श्याम की आय का अनुपात 5 : 6 राम और मोहन की आय का अनुपात 2 : 3 हैं, तो बताइए राम, श्याम और मोहन की आय का अनुपात होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Q.16 यदि A का 30% = B का 0.25 = C का 1/5 हैं तो A : B : C का मान बताइए हल:- प्रश्नानुसार, Q.17 यदि A, B से 40% अधिक हैं, B, C से 20% कम हैं, तो A : C क्या होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Q.18 यदि M का 15% = N का 20% हो तो M : N क्या होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Q.19 यदि x : y = 3 : 2 हैं, तो अनुपात (2x² + 3y²) : (3x² – 2y²) = ? हल:- प्रश्नानुसार, Q.20 a/3 = b/4 = c/7 हैं तो (a + b + c) / c = ? हल:- प्रश्नानुसार, Q.21 (2 : 3), (6 : 11), (11 : 2) का मिश्रानुपाती क्या होगा? हल: प्रश्नानुसार, Q.22 21, 38, 55, 106 में से क्या घटाया जाए कि प्राप्त संख्याएँ समानुपाती हो जाए? हल:- प्रश्नानुसार, Q.23 41, 51, 50, 62 में क्या जोड़ा जाए कि प्राप्त संख्याएँ समानुपाती हो जाए? (41 + x) : (51 + x) : : (50 + x) : (62 + x) Q.24 6 : 7 के प्रत्येक पद में से छोटी से छोटी कौन सी संख्याएँ घटायी जाए कि नए पदों का अनुपात 16 : 21 हो जाए? हल:- प्रश्नानुसार, Q.25 15 : 19 के अनुपात को
प्रदर्शित करने वाले दोनों संख्या में से ऐसी संख्या घटायी जाए कि अनुपात 3 : 4 हो जाए? (15 – x)/(19 – x) = 3/4 Q.26 दो संख्याओ का अनुपात 5 : 9 हैं, प्रत्येक में 9 जोड़ने पर उनका अनुपात 16 : 27 होता हैं, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए? हल:- प्रश्नानुसार, Q.27 तीन कक्षाओं के विघार्थीयों की कक्षा का अनुपात 2 : 3 : 5 हैं, प्रत्येक कक्षा में 40 विघार्थी बढ़ा दिए जाएं जिससे उनका अनुपात 4 : 5 : 7 हो जाता हैं, बताइए प्रारंभ में कुल विघार्थी की संख्या बताइए? (2x + 40) : (3x + 40) : (5x + 40) Q.28 80 लीटर दूध और पानी के मिश्रण में दूध और पानी की मात्रा का अनुपात 7 : 3 हैं, इस अनुपात को 2 : 1 करने के लिए पानी की कितनी मात्रा मिलाई जानी चाहिए? मिश्रण में दूध की मात्रा = 80 × 7/(7 + 3) Q.29 तीन संख्याएँ 1/2 : 2/3 : 3/4 के अनुपात में हैं, सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या का अंतर 36 हैं तो वे संख्याएँ क्या हैं। हल:- प्रश्नानुसार, Q.30 एक त्रिभुज की भुजाएं 1/2 : 1/3 : 1/4 के अनुपात में हैं, परिमाप
52 सेंटीमीटर हैं, तो सबसे छोटी भुजा क्या होगी। 1/2 : 1/3 : 1/4 Q.31 44 तीन संख्याओं का योग 98 हैं, यदि पहली और दूसरी संख्याओं में 2 : 3 का अनुपात हैं, तथा दूसरी और तीसरी संख्याओं में 5 : 8 हैं तो दूसरी संख्या क्या होगी? I : II : III Q.32 5,250 रुपए को A, B, C, D में इस प्रकार बाटा जाता हैं, की A:B को 2:3, B:C को 4:5 व C:D को 6:7 के अनुसार दिया जाता हैं तो इनमें से A का हिस्सा कितना होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Q.33 9898 को A : B : C में 3 : 7 : 4 में बाटें गए तो B का हिस्सा कितना
होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Q.34 दो संख्याएँ A और B का गुणनफल 48 हैं, और उनका अनुपात 3 : 4 हैं, तो A और B का मान क्या होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Q.35 A और B का अनुपात 2 : 5 और उनका गुणनफल 360 हैं, तो A का
मान कितना होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Q.36 A : B : C का अनुपात 3 : 4 : 2 हैं, और उनका गुणनफल 192 हैं, तो C का मान कितना होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Q.37 एक व्यक्ति आय व व्यय का अनुपात 8 : 5 हैं, और बचत 2727 हैं, तो आय कितनी हैं? हल:- प्रश्नानुसार, Q.38 A का 25%, B के 3/5 के बराबर हैं, तो A व B का अनुपात कितना होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Q.39 जब किसी संख्या का अनुपात 4 : 7 हो और दोनों संख्याओं में 25% वृद्धि की गई हो तो अब उन संख्याओं का नया अनुपात क्या होगा? हल:- प्रश्नानुसार, Q.40 420 सिक्कों में 1 रूपए, 50 पैसे, 25 पैसे के सिक्के हैं उनके मानों का अनुपात 2 : 3 : 5 हैं, तो 1
रूपए के सिक्कों की संख्या बताए? हल:- प्रश्नानुसार, Q.41 एक थैले में 20 रूपए, 10 रूपए, और 5 रूपए के नोट 3 : 4 : 5 के अनुपात में हैं, यदि थैले में कुल धनराशि 1000 रूपए हैं, तो 5 रूपए के नोटों की संख्या ज्ञात
कीजिए? हल:- प्रश्नानुसार, Q.42 एक थैले में 1 रुपए, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के 2 : 3 : 4 के अनुपात में हैं, कुल मूल्य 180 रूपए हैं? हल:- माना कि, Q.43 एक थैले में 1 रुपए, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के हैं, 50 पैसे के सिक्कों की संख्या 25 पैसों के सिक्कों की संख्या से 4 गुनी हैं, यदि इनका मूल्य 56 हैं तो 50 पैसों की सिक्कों की संख्या बताइए? हल:- माना कि, Q.44 एक थैले में 1 रुपए, 50 पैसे, 25 पैसे के 340 सिक्के हैं तथा इन सिक्कों के मूल्य का अनुपात 5 : 4 : 1 हैं, इन सिक्कों की संख्या क्रमशः कितनी हैं? हल:- प्रश्नानुसार, Q.45 जितने समय में एक कुत्ता 7 छलांगे लगाता हैं, उतनी देर में एक बिल्ली 4 छलांगे लगाती हैं, यदि बिल्ली की एक छलांग में तय की गई दूरी कुत्ता के तीन छलांग में लगायी गयी दूरी के बराबर हैं, तो बल्ली और कुत्ते की गति का अनुपात बताइए? हल:- प्रश्नानुसार, Q.46 सोना पानी से 19 गुना
भारी हैं तथा ताँबा पानी से 9 गुना भारी हैं सोने तथा ताँबे को किस अनुपात में मिलाएं कि इस प्रकार बना धातु पानी से 15 गुना भारी हो? हल:- प्रश्नानुसार, Q.47
एक आभूषण 12.5 ग्राम भार का हैं जिसमें 2.5 ग्राम शुद्ध चाँदी हैं तथा शेष कोई और धातु हैं शुद्ध चाँदी तथा इस धातु का अनुसार क्या हैं? हल:- प्रश्नानुसार, Q.48 दो उत्पादों A और B के मूल्यों का अनुपात क्रमशः 5 : 8 हैं यदि A के उत्पादों में 20% की वृद्धि तथा B के उत्पादों में 20% की कमी हो जाए? माना कि उत्पाद A का मूल्य = 5x 49. दो बसों के बीच प्रथम और द्वितीय श्रेणी के किराए का अनुपात 3 : 2 हैं। तथा प्रथम और द्वितीय श्रेणी में सफर करने वाले यात्रियों की संख्या का अनुपात 2 : 30 हैं। यदि कुल किराए की वसूली 66066 रु. हैं। तो प्रथम श्रेणी के
यात्रियों से वसूले गए किराये की रकम कितनी हैं? माना कि प्रथम एवं द्वितीय श्रेणी के शहरों के किराए क्रमशः 3x तथा 2x हैं। 50. किसी कम्पनी में एक आदमी द्वारा किए गए
उत्पादन का 66 ⅓% दूसरे आदमी द्वारा किए गए उत्पादन के 50% के बराबर हैं। यदि दूसरा व्यक्ति प्रतिदिन 19900 टेस्टर बनाए तो पहला व्यक्ति प्रतिदिन कितने टेस्टर बनता हैं? हल:- प्रश्नानुसार, जरूर पढ़िए :
उम्मीद हैं आपको अनुपात और समानुपात की जानकारी पसंद आयी होगी। यदि आपको अनुपात और समानुपात की पोस्ट पसंद आयी हो तो दोस्तों के साथ जरूर शेयर करें। यदि आप अनुपात और समानुपात से सम्बंधित कोई प्रश्न पूछना चाहते हैं तो कमेंट में जरूर पूछे धन्यवाद। अनुपात और समानुपात में क्या अंतर है?अनुपात और समानुपात में अंतर
जब दो सजातीय राशियों की तुलना भाग की क्रिया द्वारा की जाती हैं तो प्राप्त भागफल को अनुपात कहा जाता हैं। दो अनुपात के बराबर भाग को समानुपात कहाँ जाता हैं जिसमें एक अनुपात दूसरे के बराबर होता हैं।
अनुपात तथा समानुपात से क्या आशय है?जब दो या दो से अधिक संख्याओं की तुलना करने के लिए गणित की जिस विधि या तरीके का प्रयोग किया जाता है, उसे अनुपात कहा जाता हैं. अनुपात किसी मात्रा या राशि की तुलना करने के लिए इस्तेमाल होता है. जबकि दो अनुपातों की बराबरी समानुपात कहलाता हैं.
अनुपात और अनुपात का अंतर और समानताएं क्या है?अनुपात को एक ही इकाई की दो मात्राओं के आकार की तुलना के रूप में परिभाषित किया गया है। दूसरी ओर, अनुपात दो अनुपातों की समानता को दर्शाता है । अनुपात एक व्यंजक है जबकि अनुपात एक समीकरण है जिसे हल किया जा सकता है। अनुपात को तुलना की गई मात्राओं के बीच कोलन (:) चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है।
अनुपात और अनुपात से आप क्या समझते हैं अनुपात और अनुपात के बीच अंतर करते हैं?परिभाषाएँ: एक अनुपात संख्या a और b का एक क्रमित युग्म है, जिसे a / b लिखा जाता है जहाँ b बराबर नहीं होता है। एक अनुपात एक समीकरण होता है जिसमें दो अनुपात एक दूसरे के बराबर होते हैं । उदाहरण के लिए, यदि 1 लड़का और 3 लड़कियां हैं, तो आप अनुपात इस प्रकार लिख सकते हैं: 1:3 (हर एक लड़के के लिए 3 लड़कियां हैं)
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