विकर्ण सम्बन्ध क्या है एक उदाहरण देकर स्पष्ट करो? - vikarn sambandh kya hai ek udaaharan dekar spasht karo?

इसमें सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम को विस्तार पूर्वक वर्णित किया गया है। इसके अंतर्गत चित्र भी शामिल किया गया है ताकि इसे समझने में आसानी हो सके। यह चतुर्भुज नियम नोट्स खासकर कक्षा 11 के students के लिए बनाया गया है।

सदिशों के योग का समांतर चतुर्भुज नियम

इस नियम के अनुसार यदि दो सदिशों को परिमाण व दिशा में किसी समांतर चतुर्भुज की दो संगलन भुजाओं से निरूपित किया जाता हो, तब इन सदिशों का परिणामी, परिमाण व दिशा में समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा निरूपित होगा। लेकिन विकर्ण उसी बिंदु पर खींचा गया हो जिस पर दो संगलन भुजाएं खींची गई हैं। इसे सदिशों के योग का समांतर चतुर्भुज नियम कहते हैं।
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माना दो सदिश \overrightarrow{A} व \overrightarrow{B} हैं इनका परिमाण व दिशा, समांतर चतुर्भुज की दो संगलन भुजाओं OP व OS से निरूपित किया गया है। यह दोनों सदिश परस्पर θ कोण पर झुके हैं।
तब इन सदिशों का परिणामी \overrightarrow{R} , परिमाण व दिशा में त्रिभुज के विकर्ण द्वारा निरूपित होगा। चित्र से स्पष्ट है

अब परिणामी \overrightarrow{R} का परिमाण ज्ञात करने के लिए भुजा OP को आगे बढ़ाकर उस पर बिंदु Q से लंब खींचा जाता है। तो
OP = QS = A
OS = PQ = B
OQ = R

अब ∆ONQ में
(कर्ण)2 = (लंब)2 + (आधार)2
(OQ)2 = (ON)2 + (QN)2
(OQ)2 = (OP + PN)2 + (QN)2
(OQ)2 = (OP)2 + (PN)2 + 2(OP)(PN) + (QN)2
चूंकि ∆PNQ में (PN)2 + (QN)2 = (PQ)2 है तब उपरोक्त समीकरण से
(OQ)2 = (OP)2 + (PQ)2 + 2(OP)(PN) समी.①
अब समकोण ∆PNQ में
cosθ = आधार/कर्ण = PN/PQ
तथा PN = PN cosθ
PN का मान समी.① में रखने पर
(OQ)2 = (OP)2 + (PQ)2 + 2(OP)(PN cosθ)
चूंकि शुरू में ही ज्ञात था कि OP = A, PQ = B तथा OQ = R है तो समीकरण
R2 = A2 + B2 + 2ABcosθ
दोनों ओर वर्गमूल करने पर
\footnotesize \boxed { R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2ABcosθ} }

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अतः इस समीकरण द्वारा चतुर्भुज की दो संगलन भुजाओं के मान से उनका परिणाम \overrightarrow{R} का परिमाण ज्ञात किया जा सकता है।

अब परिणामी \overrightarrow{R} की दिशा ज्ञात करने के लिए सदिश \overrightarrow{A} की दिशा में α कोण बनाते हैं। तब
tanα = लंब/आधार = QN/ON = QN/(OP + PN)
अब OP = A तथा PN = Bcosθ एवं QN = Bsinθ होगा। तो
\footnotesize \boxed { tanα = \frac{Bsinθ}{A + Bcosθ} }
यही सदिशों के योग का समांतर चतुर्भुज नियम का सूत्र है।