षट्भुज का क्षेत्रफल क्या होता है? - shatbhuj ka kshetraphal kya hota hai?

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हेक्सागॉन या षट्कोण छः भुजा तथा कोणों वाला एक बहुभुज होता है। सम-षट्कोण की सभी छः भुजाएँ तथा कोण समान होते है और इसमें छः समबाहु त्रिभुज समाविष्ट होते हैं। चाहे सम-षट्कोण हो या विषम-षट्कोण, इसके क्षेत्रफल की गणना करने के विविध उपाय हैं। यदि आप जानना चाहते हैं कि कैसे षट्कोण का क्षेत्रफल निकाला जाए तो निम्नलिखित उपाय करें।

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   सम-षट्कोण की भुजा ज्ञात होने पर इसके क्षेत्रफल का सूत्र लिखें: चूँकि सम-षट्कोण में छः सम-त्रिभुज होते हैं, इसलिए इसके क्षेत्रफल का सूत्र सम-त्रिभुज के सूत्र से व्युपत्रित किया जाता है। सम-षट्कोण के क्षेत्रफल का सूत्र है क्षेत्रफल = (3√3 s2)/ 2 जहाँ s सम-षट्कोण के भुजा की लम्बाई है।[१]

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   सम-षट्कोण की एक भुजा की लम्बाई पता करें: यदि आपको सम-षट्कोण की एक भुजा की लम्बाई पहले से ज्ञात है तो आप इसे लिख सकते हैं; यहाँ इसकी लम्बाई 9 सेमी है। यदि आपको यह लम्बाई पता नहीं है लेकिन आपको इसकी परिमिति या अंतःत्रिज्या (सम-षट्कोण के किसी एक समबाहू त्रिभुज की ऊंचाई, जो किसी भुजा पर लंब हो) दी गयी है तो इससे आप सम-षट्कोण की भुजा की लम्बाई प्राप्त कर सकते हैं। यह इस प्रकार प्राप्त करते हैं:

   • यदि आपको परिमिति ज्ञात हो तो सम-षट्कोण के भुजा की लम्बाई प्राप्त करने के लिए इसे 6 से विभाजित करें। उदाहरण के लिए, यदि परिमिति की लम्बाई 54 सेमी है, तो इसे 6 से विभाजित करें, इससे आप 9 सेमी पाएंगे जो की भुजा की लम्बाई होगी।
   • यदि आपको सम-षट्कोण की सिर्फ अंतःत्रिज्या ज्ञात है तो आप a = x√3 इस सूत्र में अंतःत्रिज्या का मान भर कर तथा प्राप्त उत्तर को 2 से गुणा कर के भुजा की लम्बाई ज्ञात कर सकते हैं। यह इसलिए क्योंकि अंतःत्रिज्या 30-60-90 त्रिभुज की x√3 भुजा को दर्शाती है, जहाँ x भुजा को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, यदि अंतःत्रिज्या 10√3 है तो 10*2 या 20 इसकी भुजा की लम्बाई होगी।

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   इस भुजा की लम्बाई को सूत्र में भरें: चूँकि आप जानते हैं कि समबाहु त्रिभुज की भुजा की लम्बाई 9 है इसलिए मूल सूत्र में भुजा की लम्बाई की जगह 9 लिखिए। यह इस प्रकार होगा: क्षेत्रफल = (3√3 x 92)/2

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   सरलीकरण द्वारा उत्तर प्राप्त करें: इस समीकरण का सरलीकरण कर के संख्या में उत्तर प्राप्त करें। चूँकि आप क्षेत्रफल निकाल रहें हैं इसलिए अपना उत्तर वर्ग इकाई में दर्शाएँ। इसे इस तरह करना है:

   • (3√3 x 92)/2 =
   • (3√3 x 81)/2 =
   • (243√3)/2 =
   • 420.8/2 =
   • 210.4 सेमी2

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   सम-षट्कोण की अंतःत्रिज्या ज्ञात होने पर इसके क्षेत्रफल का सूत्र लिखें: इसका सूत्र है क्षेत्रफल = 1/2 x परिमिति x अंतःत्रिज्या ।[२]

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   अंतःत्रिज्या का मान लिखें: मानिए कि अंतःत्रिज्या 5√3 सेमी है।

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   परिमिति ज्ञात करने के लिए अंतःत्रिज्या का उपयोग कीजिये: चूँकि अंतःत्रिज्या सम-षट्कोण की भुजा पर बना लंब होता है, यह 30-60-90 त्रिभुज की एक भुजा बनाता है। 30-60-90 त्रिभुज की भुजाएं x-x√3-2x के अनुपात में होती हैं, जहाँ x सबसे छोटी भुजा होती है तथा 30 अंश कोण के विपरीत होती है। 60 अंश कोण के विपरीत भुजा सबसे लम्बी होती है जो कि x√3 होती है, और कर्ण को 2x से दर्शाया जाता है।[३]

   • इस प्रकार अंतःत्रिज्या वो भुजा है जिसे x√3 से दर्शाया गया है। अतः अंतःत्रिज्या को इस सूत्र में भरें a = x√3 तथा हल करें। यदि अंतःत्रिज्या 5√3 है तो इसे सूत्र में लिखने पर हमें 5√3 सेमी = x√3, या x = 5 सेमी।
   • x हल करने पर आपको त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा मिलेगी, जो 5 सेमी है। चूँकि ये सम-षट्कोण के भुजा की आधी लम्बाई है, इसे 2 से गुणा कर के पूरी लम्बाई प्राप्त करें। 5 सेमी x 2 = 10 सेमी।
   • अब आप ये जानते हैं कि सम-षट्कोण के एक भुजा की लम्बाई 10 सेमी है, इसे 6 से गुणा कर के परिमिति ज्ञात करें। 10 सेमी x 6 = 60 सेमी

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   सूत्र में इन सभी का मान लिखें: सबसे कठिन भाग परिमिति ज्ञात करना था। अब आप परिमिति तथा अंतःत्रिज्या का मान सूत्र में भरकर हल कीजिये:

   • क्षेत्रफल = 1/2 x परिमिति x अंतःत्रिज्या
   • क्षेत्रफल = 1/2 x 60 सेमी x 5√3 सेमी

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   सरलीकरण द्वारा उत्तर प्राप्त करें: इस समीकरण को हल करें। अपने अंतिम उत्तर को वर्ग इकाई में लिखें।

   • 1/2 x 60 सेमी x 5√3 सेमी =
   • 30 x 5√3 सेमी =
   • 150√3 सेमी =
   • 259. 8 सेमी2

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   सभी शीर्षबिन्दुओं के X तथा Y निर्देशांक लिखिए: यदि आपको षट्कोण के शीर्षबिन्दु ज्ञात हों तो सर्वप्रथम दो स्तंभ तथा सात पंक्तियों वाला आलेख बनाएं। हर पंक्तियों को छः बिन्दुओं से दर्शाएँ (बिंदु A, बिंदु B, बिंदु C, इत्यादि), और हर स्तंभ पर इन बिन्दुओं के X तथा Y निर्देशांक लिखें। हर बिंदु के X तथा Y निर्देशांक उन बिन्दुओं के दायीं ओर लिखें:[४]

   • A: (4, 10)
   • B: (9, 7)
   • C: (11, 2)
   • D: (2, 2)
   • E: (1, 5)
   • F: (4, 7)
   • A (फिर से): (4, 10)

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   हर बिन्दुओं के X निर्देशांक को उसके अगले बिन्दु के Y निर्देशांक से गुणा कीजिये: इसे आप हर बिंदु के X निर्देशांक से नीचे से दायीं ओर खींची विकर्ण रेखा की तरह सोचिये। इस नतीजे को आलेख के दायीं ओर लिखें। फिर उत्तर जोड़ें।

   • 4 x 7 = 28
   • 9 x 2 = 18
   • 11 x 2 = 22
   • 2 x 5 = 10
   • 1 x 7 = 7
   • 4 x 10 = 40
     • 28 + 18 + 22 + 10 + 7 + 40 = 125

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   हर बिन्दुओं के Y निर्देशांक को उसके अगले बिन्दु के X निर्देशांक से गुणा कीजिये: इसे आप हर बिंदु के Y निर्देशांक से नीचे से बायीं ओर खींची विकर्ण रेखा की तरह सोचिये। इन निर्देशांक के गुणा करने के बाद उत्तर जोड़ें।

   • 10 x 9 = 90
   • 7 x 11 = 77
   • 2 x 2 = 4
   • 2 x 1 = 2
   • 5 x 4 = 20
   • 7 x 4 = 28
   • 90 + 77 + 4 + 2 + 20 + 28 = 221

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   पहले समूह के निर्देशांक के योग को दुसरे समूह के निर्देशांक के योग से घटायें: 221 में से 125 को घटायें। 125 - 221 = -96। अब इस उत्तर को पूर्ण संख्या के रूप में चुनें, यह 96 है। क्षेत्रफल धनात्मक होता है।

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   इस अंतर को 2 से भाग दें: 96 को 2 से भाग दें और आपको विषम-षट्कोण का क्षेत्रफल मिल जाएगा। 96/2 = 48, इस उत्तर को वर्ग इकाई में लिखना न भूलें।

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   पहले विषम-षट्कोण पर कटी हुई रेखाकृति से सम-षट्कोण बनाएं तथा क्षेत्रफल ज्ञात करे: इससे इस काल्पनिक सम-षट्कोण तथा वास्तविक विषम-षट्कोण के बीच एक या अधिक त्रिभुज होंगे। इसलिए सबसे पहले इस बड़े सम-षट्कोण का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये। अब विषम-षट्कोण में ना-मौजूद त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर के इसे सम-षट्कोण के क्षेत्रफल में से घटाइए। इससे आपको बचे हुए विषम-षट्कोण का क्षेत्रफल प्राप्त हो जायेगा।

   • उदाहरण के लिए, यदि आपको सम-षट्कोण का क्षेत्रफल 60 वर्ग सेमी प्राप्त हुआ तथा असमाविष्ट त्रिभुज का क्षेत्रफल 10 वर्ग सेमी मिला है, तो सम-षट्कोण के क्षेत्रफल में से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटा दीजिये: 60 वर्ग सेमी -10 वर्ग सेमी = 50 वर्ग सेमी।
   • यदि आप ये जानते हैं कि ना-मौजूद त्रिभुज की संख्या ठीक एक हैं, तो आप विषम-षट्कोण का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सम-षट्कोण के क्षेत्रफल को 5/6 से गुणा कर के प्राप्त कर सकते हैं। यदि ना-मौजूद त्रिभुज की संख्या दो है तो सम-षट्कोण के क्षेत्रफल को 4/6 (2/3) से गुणा कीजिये।

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   विषम-षट्कोण को त्रिभुजों में विभाजित कीजिये: आप ये पायेंगे कि विषम-षट्कोण में चार विषम-बाहु त्रिभुज होते हैं। इस पुरे विषम-षट्कोण का क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए आपको इन चारों त्रिभुजों का क्षेत्रफल प्राप्त कर के उन्हें जोड़ना होगा। दी गयी जानकारी के आधार पर इन त्रिभुजों का क्षेत्रफल विभिन्न विधियों द्वारा ज्ञात किया जा सकता है।

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   इस विषम-षट्कोण में दूसरी आकृतियों को ढूंढें: यदि आप इसमें त्रिभुज नहीं देख पा रहें हैं तो आप दूसरी विषम-षट्कोण आकृतियों को भी खोज सकते हैं -- जो कि एक त्रिभुज, आयत, और/या वर्ग भी हो सकता है। जब आप दुसरी आकृतियों को रेखाकृत कर लें, तो इनके क्षेत्रफलों को जोड़कर विषम-षट्कोण का क्षेत्रफल प्राप्त करें।

   • एक प्रकार के विषम-षट्कोण में दो समानांतर चतुर्भुज समाविष्ट होते हैं। इन समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए इनके आधार तथा ऊंचाई का गुणनफल प्राप्त कीजिये, तथा इन क्षेत्रफलों को जोड़ दीजिये।

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षट्भुज का क्षेत्रफल का सूत्र क्या होता है?

षट्भुज का एक कोण कितने डिग्री का होता है?

षट्भुज के कोणों का योग कितना होता है?

षट्भुज कौन कैसे बनाया जाता है?