कोणों का योग कैसे करते हैं? - konon ka yog kaise karate hain?

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ज्यामिति (geometry) में, 2 किरणों (rays) के (या रेखाखंडों के) बीच की जगह या झुकाव को कोण (angle) कहते हैं, अर्थात दोनों रेखाखंड (line Segment) एक ही शीर्ष बिंदु (या वर्टेक्स) से निकलते हैं। कोण को मापने की सबसे आम इकाई डिग्री है (जिसे ° चिन्ह से दर्शाया जाता है।) एक वृत्त का माप 360° होता है। यदि आप बहुभुज या पोलीगोन (polygon) का आकार और उसके अन्य कोणों के माप जानते हैं, और यदि एक समकोण त्रिभुज (right triangle) की दो भुजाओं का माप जानते हैं, तो आप उस बहुभुज में एक कोण के माप की गणना कर सकते हैं। इसके अलावा, आप प्रोट्रेक्टर (protractor) की मदद से कोण को माप सकते हैं और यदि प्रोट्रेक्टर नहीं है, तो ग्राफिंग कैलकुलेटर (graphing calculator) का इस्तेमाल करके आप कोण का माप निकाल सकते हैं।

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   एक बहुभुज में भुजाओं (sides) की संख्या गिनें: बहुभुज या पोलीगोन के आंतरिक कोणों (interior angles) का योग निकालने के लिए, सर्वप्रथम आपको बहुभुज (polygon) में कितनी भुजाएं हैं यह पता लगाना जरूरी है। किसी भी बहुभुज में भुजाओं की संख्या तथा कोणों की संख्या समान होती है।[१]

   • उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज में 3 भुजाएं तथा 3 आंतरिक कोण होते हैं, जब कि एक वर्ग में 4 भुजाएं तथा 4 आंतरिक कोण होते हैं।

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   एक बहुभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग निकालें: एक बहुभुज (polygon) के सभी आंतरिक कोणों का कुल योग निकालने का फार्मुला यह है: (n – 2) x 180। इस फार्मुला में, बहुभुज के भुजाओं की संख्या n हैं। कुछ साधारण पोलीगोन के आंतरिक कोणों (interior angles) का कुल योग निम्नलिखित हैं:[२]

   • त्रिभुज (triangle - 3 भुजाओं वाला बहुभुज) के सभी कोणों का योग 180° है।
   • चतुर्भुज (quadrilateral – 4 भुजाओं वाला बहुभुज) के सभी कोणों का योग 360° है।
   • पंचभुज (pentagon – 5 भुजाओं वाला बहुभुज) के सभी कोणों का योग 540° है।
   • षट्भुज (hexagon – 6 भुजाओं वाला बहुभुज) के सभी कोणों का योग 720° है।
   • अष्टभुज (octagon – 8 भुजाओं वाला बहुभुज) के सभी कोणों का योग 1080° है।

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   बहुभुज के एक कोण का माप निकालें: बहुभुज या पोलीगोन के एक कोण का माप निकालने के लिए, बहुभुज के आंतरिक कोणों के योग को बहुभुज में मौजूद कोणों की संख्या से विभाजित करें। एक बहुभुज जिसमें सारी भुजाएं तथा सारे कोण समान माप के होते हैं, उसे सम बहुभुज (regular polygon) कहते हैं। उदाहरण के लिए, एक समबाहु त्रिभुज (equilateral triangle) में हर एक कोण का माप 180 ÷ 3, या 60° होता है, और वर्ग में हर एक कोण का माप 360 ÷ 4, या 90° है।[३]

   • समबाहु त्रिभुज (equilateral triangle) और वर्ग (squares) दोनों ही समबहुभुज (regular polygon) के उदाहरण है, उसी प्रकार वाशींगटन D. C. में मौजूद पेंटागन एक सम पंचभुज (regular pentagon) का उदाहरण है, और स्टॉप का साइन सम अष्टभुज (regular octagon) का उदाहरण है।

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   एक विषम बहुभुज में अज्ञात कोण का माप निकालें: ऐसा करने के लिए, एक विषम बहुभुज में दिए गए सारे कोणों के योग को आंतरिक कोणों के योग से घटाएं। यदि दिए गए बहुभुज में सारी भुजाएं और कोण विभिन्न माप के हैं, तो आपको बहुभुज के दिए गए सारे कोणों का योग निकालने की आवश्यकता होगी। फिर, अज्ञात कोण का माप निकालने के लिए इस योग को बहुभुज के आंतरिक कोणों के योग से घटा दें।[४]

   • उदाहरण के लिए, यदि किसी पंचभुज में 4 कोणों के माप 80°, 100°, 120°, और 140° इसप्रकार दिए गए हैं, तो पंचभुज के पाँचवे कोण की गणना करने के लिए, दिए गए मापो का योग निकालें, जो कि 440° है। फिर, इस योग को बहुभुज के आंतरिक कोणों के योग 540° से घटाएं: आपका जवाब होगा 540 – 440 = 100°। इसका अर्थ है, पंचभुज के अज्ञात कोण का माप 100° है।

   सलाह: कुछ बहुभुजों में “हिन्ट“ दिए होते हैं ताकि आप अज्ञात कोण का माप निकाल सकें। जैसे समद्विबाहु त्रिभुज (isosceles triangle) में 2 भुजाओं के माप और 2 कोणों के माप समान होते हैं। समानांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएं समान लंबाई की होती है और सम्मुख कोण भी समान माप के होते हैं।

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   याद रखें सभी समकोण त्रिभुज में एक कोण 90° के बराबर होता है: परिभाषा के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज में हमेशा एक कोण 90° का होता है, भले ही इसे त्रिभुज में दर्शाया नहीं गया हो। इसलिए, आपको हमेशा त्रिभुज का एक कोण तो अवश्य ही पता होगा और समकोण त्रिभुज के अन्य दो कोण निकालने के लिए आप त्रिकोणमिति (trigonometry) का इस्तेमाल कर सकते हैं।[५]

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   समकोण त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाई मापें: समकोण त्रिभुज में सबसे लंबी भुजा को “कर्ण (hypotenuse)” कहते हैं। जिस कोण का माप आप निकालना चाहते हैं, उस कोण के संलग्न (बगल की) मौजूद भुजा को “संलग्न” भुजा कहते हैं। और जिस कोण का माप आप निकालना चाहते हैं, उसके विपरीत मौजूद भुजा को “सम्मुख” भुजा कहते हैं। समकोण त्रिभुज के दो भुजाओं की लंबाई माप लें ताकि आप समकोण त्रिभुज के अन्य दो कोणों के माप निकाल सकें।[६]

   सलाह: आप समीकरण को हल करने के लिए ग्राफिंग कैलकुलेटर या विभिन्न साइन (sine), कोसाइन (cosine), और टैन्जन्ट (tangent) फंक्शन की वैल्यू वाले ऑनलाइन टेबल का इस्तेमाल कर सकते हैं।

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   साइन फंक्शन का इस्तेमाल करें: यदि आपको समकोण त्रिभुज की सम्मुख भुजा और कर्ण का माप पता है, तो साइन फंक्शन का इस्तेमाल करें। सारे मापों को समीकरण में लिखें: sine (x) = सम्मुख भुजा ÷ कर्ण। मान लीजिए कि कोण x की सम्मुख भुजा का माप 5 और कर्ण का माप 10 हैं। 5 को 10 से विभाजित करें, आपको उत्तर मिलेगा 0.5। अब आपके पास sine (x) = 0.5 है, जो कि x = sine-1 (0.5) के समान ही है।[७]

   • यदि आपके पास ग्राफिंग कैलकुलेटर है, तो उसमें केवल 0.5 टाइप करें और फिर sine-1 फंक्शन को दबाएं। यदि आपके पास ग्राफिंग कैलकुलेटर नहीं है, तो कोण का माप निकालने के लिए, ऑनलाइन चार्ट का इस्तेमाल करें। दोनों ही मेथड से आपको उत्तर मिलेगा x = 30°।

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   कोसाइन फंक्शन का इस्तेमाल करें: यदि आपको समकोण त्रिभुज की संलग्न भुजा और कर्ण का माप पता है, तो कोसाइन फंक्शन का इस्तेमाल करें। इस तरह के उदाहरण में, आपको यह समीकरण इस्तेमाल करना होगा: cosine (x) = संलग्न भुजा ÷ कर्ण। यदि संलग्न भुजा की लंबाई 1.666 है और कर्ण बराबर 2.0 है, तो 1.666 को 2 से विभाजित करें, आपको उत्तर मिलेगा 0.833। इसलिए, cosine (x) = 0.833 है या x = cosine-1 (0.833) है।[८]

   • अपने ग्राफिंग कैलकुलेटर में 0.833 टाइप करें, फिर cosine-1 फंक्शन को दबाएं। या कोसाइन चार्ट में इसकी वैल्यू देखें। उत्तर है 33.6°।

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   टैन्जेंट फंक्शन का इस्तेमाल करें: यदि आपको समकोण त्रिभुज की सम्मुख भुजा और संलग्न भुजा का माप पता है, तो टैन्जेंट फंक्शन का इस्तेमाल करें। टैन्जेंट फंक्शन के लिए समीकरण है tangent (x) = सम्मुख भुजा ÷ संलग्न भुजा। मान लीजिए सम्मुख भुजा की लंबाई 75 है और संलग्न भुजा की लंबाई 100 है। 75 को 100 से विभाजित करें, आपको 0.75 मिलेंगे। इसका अर्थ है tangent (x) = 0.75, जो कि x = tangent-1 (0.75) के समान ही है।[९]

   • ऑनलाइन टैन्जेंट चार्ट में आप इसकी वैल्यू निकाल सकते हैं या अपने ग्राफिंग कैलकुलेटर में 0.75 टाइप करें, फिर tangent-1 दबाएं। आपको उत्तर मिलेगा 36.9°।

सलाह

• कोणों को उसके डिग्री के माप के अनुसार नाम दिए जाते हैं। जैसे पहले भी बताया गया है, समकोण (right angle) 90° होता है। जो कोण 0° से अधिक और 90° से कम होता है, उसे न्यून कोण (acute angle) कहते हैं। कोण जिसका माप 90° से अधिक और 180° से कम होता है, उसे अधिक कोण (obtuse angle) कहते हैं। कोण जिसका माप 180° है, उसे ऋजु कोण (straight angle) कहते हैं, जब कि कोण जिसका माप 180° अधिक है, उसे बृहत कोण (reflex angle) कहते हैं।
• दो कोण जिसका योग निकालने पर 90° मिलता है उन्हें पूरक कोण (complementary angles) कहते हैं। (किसी भी समकोण त्रिभुज में 90° के अलावा अन्य जो दो कोन होते हैं, वह एक दूसरे के पूरक कोण होते हैं।) और दो कोण जिनका योग निकालने पर आपको 180° मिलता है, तो उन्हें संपूरक कोण (supplementary angles) कहते हैं।

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