Get “Real numbers” chapter’s previous years questions from 2009 to 2020 of JAC board. Q1. If h.c.f(306,657) = 9, find l.c.m(306,657) { 306 तथा 657 महत्तम समापवर्तक 9 दिया है| 306 तथा 657 का लघुमत्त समापवर्त्य ज्ञात
कीजिये|} Ans. Q2. Write 120 as a product of its prime factors. {120 को अभाज्य गुणनखंडो के गुणनफल के रूप में लिखिए } Ans. Prime factor of 120 =2×2×2×3×5= { 120 का अभाज्य गुणनखंडन =2×2×2×3×5= } Q3. Write 140 as a product of its prime factors. {140 को अभाज्य गुणनखंडो के गुणनफल के रूप में लिखिए} year 2017, 2014 of 1 marks Ans. Prime factor of 140= 2×2×5×7 = {140 का अभाज्य गुणनखंडन= 2×2×5×7 =} Q4. Find the h.c.f of 26 and 91 by prime factoristion method. {26और 91 का अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा h.c.f ज्ञात कीजिये } Ans. Prime factor of 26=2×13 Prime factor of 91=7×13 ∴ HCF(26,91) =13 {26 का अभाज्य गुणनखंड =2×13 91 का अभाज्य गुणनखंड =7×13 ∴ HCF(26,91) =13} Q5. Find the l.c.m. of 96 and 404 by prime factoristion method. { अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 96 और 404 का l.c.m ज्ञात कीजिये} year 2016, 2012 of 1 marks Ans. Prime factor of 96 =2×2×2×2×2×3 Prime factor of 404 =2×2×101 ∴ LCM(96,404) =2×2×2×2×2×3×101 =9696 {96 का अभाज्य गुणनखंडन= 2×2×2×2×2×3 404 का अभाज्य गुणनखंडन= 2×2×101 ∴ LCM(96,404) =2×2×2×2×2×3×101 =9696} Q6. State whether rational number will have a terminating decimal expansion or non-terminating repeating decimal expansion. {बताइये की परिमेय संख्या के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती हैै} Ans. Denominator is in the form of ∴ will have a terminating decimal expansion. { भाजक (अर्थात् ) के रूप में हैै| ∴ का दशमलव प्रसार सांत है|} Q7. State whether rational number will have a terminating decimal expansion or non-terminating repeating decimal expansion. {बताइये की परिमेय संख्या के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती हैै} Ans. Denominater is in the form of ∴ will have a terminating decimal expansion. { भाजक (अर्थात् ) के रूप में हैै| ∴ का दशमलव प्रसार सांत है|} Q8. State whether the rational number will have a terminating decimal expansion or a non-terminating repeating decimal expansion. { बताइये की परिमेय संख्या के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती हैै} year 2015,2009 of 1 marks Ans. Denominater is in the form of ∴ will have a terminating decimal expansion. { भाजक (अर्थात् ) के रूप में हैै| ∴ का दशमलव प्रसार सांत है|} Q9. State whether the rational number will have a terminating decimal expansion or a non-terminating repeating decimal expansion. { बताइये की परिमेय संख्या के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती हैै} Ans. Denominater is in the form of ∴ will have a terminating decimal expansion. { भाजक (अर्थात् ) के रूप में हैै| ∴ का दशमलव प्रसार सांत है|} Q10. Find the h.c.f of 96 and 404 by prime factoristion method. {96 और 404 का अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा h.c.f ज्ञात कीजिये } Ans. Prime factor of 96 =2×2×2×2×2×3 Prime factor of 404 =2×2×101 ∴ HCF(96,404) =2×2 =4 {96 का अभाज्य गुणनखंड =2×2×2×2×2×3 404 का अभाज्य गुणनखंड =2×2×101 ∴ HCF(96,404) =2×2 =4} Q11. Find the l.c.m. of 26 and 91 by prime factoristion method. {26 और 91 का अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा l.c.m ज्ञात कीजिये} Ans. Prime factor of 26=2×13 prime factor of 91=7×13 ∴ LCM(26,91) =2×7×13 =182 {26 का अभाज्य गुणनखंड =2×13 91 का अभाज्य गुणनखंड =7×13 ∴ LCM(26,91) =2×7×13 =182} Q12. Find the H.C.F of 135 and 225 using Euclid’s division algorithm. {यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके 135 और 225 का H.C.F ज्ञात कीजिए|} year 2019, 2017 of 3 marks Ans. 225>135225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2+0 ∴ Divisor = 45 is H.C.F(225,135) {225>135225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2+0 ∴ भाजक = 45 is H.C.F(225,135)} Q13. Find the H.C.F of 420 and 272 using Euclid’s division algorithm. {यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके 420 और 272 का H.C.F ज्ञात कीजिए|} Ans. 420>272420=272×1+148 272=148×1+124 148=124×1+24 124=24×5+4 24=4×6+0 ∴ Divisor = 4 is H.C.F(420,272) {420>272420=272×1+148 272=148×1+124 148=124×1+24 124=24×5+4 24=4×6+0 ∴ भाजक = 4 is H.C.F(420,272)} Q14. Find the H.C.F of 12576 and 4052 using Euclid’s division algorithm. {यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके 12576 और 4052 का H.C.F ज्ञात कीजिए|} Ans. 12576>4052 4052=420×9+272 420=272×1+148 272=148×1+124 148=124×1+24 124=24×5+4 24=4×6+0 ∴ Divisor = 4 is H.C.F(4052,12576) {12576>4052 4052=420×9+272 420=272×1+148 272=148×1+124 148=124×1+24 124=24×5+4 24=4×6+0 ∴ भाजक = 4 is H.C.F(4052,12576)} Q15. A battalion of 616 members have to be marched behind a band party of 32 members. Both groups have to be marched in equal number of columns. Evaluate the maximum number of the columns ? {किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाली एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना होता है| दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है| इन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है ?} Ans. Maximum number of the columns =H.C.F(616,32) 32=8×4+0 ∴ Divisor = 8 is H.C.F(616,32) {स्तंभों की अधिकतम संख्या =H.C.F(616,32) 32=8×4+0 ∴ भाजक = 8 is H.C.F(616,32) Q16. Show that any positive even integer is of the form 4q or 4q+2, where q is some integer. {दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक सम पूर्णांक 4q या 4q+2 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।} Ans. Let n be an any positive integer. On dividing n by 4, let q be the quotient and r be the remainder. ∴ By Euclid’s Division Lemma Hence, any positive even integer is of the form 4q or 4q+2, where q is some integer. {मान लीजिए n कोई धनात्मक पूर्णांक है| n को 4 से भाग देने पर मान लीजिए भागफल q और शेषफल r आएगा| ∴ यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा इसलिए, कोई भी धनात्मक सम पूर्णांक 4q या 4q+2 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है|} Q17. Show that any positive odd integer is of the form 6q+1 or 6q+3 or 6q+5, where q is some integer. {दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1 या 6q+3 या 6q+5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।} Ans. Let n be an any positive integer. On dividing n by 6, let q be the quotient and r be the remainder. ∴ By Euclid’s
Division Lemma Hence, any positive odd integer is of the form 6q+1 or 6q+3 or 6q+5, where q is some integer. {मान लीजिए n कोई धनात्मक पूर्णांक है| n को 6 से भाग देने पर मान लीजिए भागफल q और शेषफल r आएगा| ∴ यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा इसलिए, कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1 या 6q+3 या 6q+5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है|} Q18. Show that any positive odd integer is of the form 6q+1 or 6q+3, where q is some integer. {दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1 या 6q+3 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।} Ans. Let n be an any positive integer. On dividing n by 6, let q be the quotient and r be the remainder. ∴ By Euclid’s Division Lemma Hence, any positive odd integer is of the form 6q+1 or 6q+3, where q is some integer. {मान लीजिए n कोई धनात्मक पूर्णांक है| n को 6 से भाग देने पर मान लीजिए भागफल q और शेषफल r आएगा| ∴ यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा इसलिए, कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1 या 6q+3 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है|} Q19. Show that any positive odd integer is of the form 4q+1 or 4q+3, where q is some integer. {दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 4q+1 या 4q+3 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।} year 2014, 2011 of 3 marks Ans. Let n be an any positive integer. On dividing n by 4, let q be the quotient and r be the remainder. ∴ By Euclid’s Division Lemma Hence, any positive odd integer is of the form 4q+1 or 4q+3, where q is some integer. {मान लीजिए n कोई धनात्मक पूर्णांक है| n को 4 से भाग देने पर मान लीजिए भागफल q और शेषफल r आएगा| ∴ यूक्लिड
विभाजन प्रमेयिका द्वारा इसलिए, कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 4q+1 या 4q+3 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है|} Q20. Show that every positive even integer is in the form 2q and every positive odd integer is in the form 2q+1, where q is any integer. {दर्शाइए कि प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक 2q के रूप में होता है तथा प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक 2q+1 के रूप में होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है|} Ans. Let n be an any positive integer. On dividing n by 2, let q be the quotient and r be the remainder. ∴ By Euclid’s Division Lemma Hence, every positive even integer is in the form 2q and every positive odd integer is in the form 2q+1, where q is any integer. {मान लीजिए n कोई धनात्मक पूर्णांक है| n को 2 से भाग देने पर मान लीजिए भागफल q और शेषफल r आएगा| ∴ यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका
द्वारा इसलिए, प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक 2q के रूप में होता है तथा प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक 2q+1 के रूप में होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।} Q21. Show that the cube of any positive integer is of the form 9m, 9m+1 or 9m+8, Using Euclid’s division lemma. {यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m+1 या 9m+8 के रूप का होता है|} Ans. Let x be an any positive integer. On dividing x by 3, let q be the quotient and r be the remainder. ∴ By Euclid’s Division Lemma Now,
Where m is any integer. ∴ The cube of any positive integer is of the form 9m, 9m+1 or 9m+8. {मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है। x को 3 से भाग देने पर मान लीजिए भागफल q और शेषफल r आएगा| यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा अब, या,
या, जहाँ m कोई पूर्णांक है| ∴ किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m+1 या 9m+8 के रूप का होता है|} Q22. Prove that is an irrational number. { सिद्ध कीजिये की एक अपरिमेय संख्या है}. Ans. Lets is a rational number Then, …(1) Squaring both
sides, Now,
Putting the value of p in eq(1) Squaring both
sides Now, From eq(2) and eq(3), ∴ Our assumption is wrong. Hence, is an irrational number. {माना एक परिमेय संख्या है| तो, …(1) दोनों तरफ वर्ग करने
पर, अब,
(मान लिए) P का मान समीकरण(1) में रखने पर दोनों तरफ वर्ग करने
पर, अब, (मान लिए) समीकरण(2) और समीकरण(3) से, ∴ हमारी मान्यता गलत है| अतः एक अपरिमेय संख्या है|} Q23. Prove that is an irrational number {सिद्ध कीजिये की एक अपरिमेय संख्या है} Ans. Lets is a rational number Then,
…(1) Squaring both sides, Now, Putting the value of p in
eq(1) Squaring both
sides Now, From eq(2) and eq(3), ∴ Our assumption is wrong. Hence, is an irrational number. {माना एक परिमेय संख्या है| तो, …(1) दोनों तरफ वर्ग करने
पर, अब,
(मान लिए) P का मान समीकरण(1) में रखने पर दोनों तरफ वर्ग करने
पर, अब, (मान लिए) समीकरण(2) और समीकरण(3) से, ∴ हमारी मान्यता गलत है| अतः एक अपरिमेय संख्या है|} Q24. Prove that is an irrational number {सिद्ध कीजिये की एक अपरिमेय संख्या है} Ans. Lets is a rational number Then, …(1) Squaring both
sides, Now,
Putting the value of p in eq(1) Squaring both
sides Now, From eq(2) and eq(3), ∴ Our assumption is wrong. Hence, is an irrational number. {माना एक परिमेय संख्या है| तो, …(1) दोनों तरफ वर्ग करने
पर, अब,
(मान लिए) P का मान समीकरण(1) में रखने पर दोनों तरफ वर्ग करने
पर, अब, (मान लिए) समीकरण(2) और समीकरण(3) से, ∴ हमारी मान्यता गलत है| अतः एक अपरिमेय संख्या है|} Q25.Prove that is irrational number {सिद्ध कीजिये की एक अपरिमेय संख्या है} year 2020, 2015 of 3 marks Ans. Let is rational. Then, (where q≠0) As p,q and 7 are integer, then is rational, and so is also rational. But this is contradiction to the fact that is irrational. This contradiction has produced because of our wrong assumption that is rational. So ,it concludes that is an irrational number. {माना कि परिमेय संख्या है| तो, (जहाँ q≠0) चूँकि 7, p और q पूर्णांक है इसलिए एक परिमेय संख्या होगी| तो भी एक परिमेय संख्या होगी| परन्तु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है की एक अपरिमेय संख्या है| हमें यह विरोधाभास अपनी गलत कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है की एक परिमेय संख्या है| अतः हम यह निष्कर्ष निकालते है की एक अपरिमेय संख्या है|} Q26. Prove that is irrational. { सिद्ध कीजिये की एक अपरिमेय संख्या है} year 2019, 2014 of 3 marks Ans. Lets is rational. Then, (where q≠0) But this is contradiction to fact that is irrational. This contradiction has produced because of our wrong assumption that is rational. So, it concludes that is an irrational number. {माना की एक परिमेय संख्या है| तो, (जहाँ q≠0) चूँकि 6,p और q पूर्णांक है, इसलिए एक परिमेय संख्या होगी| तो भी एक परिमेय संख्या होगी| परन्तु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है की एक अपरिमेय संख्या है| हमें यह विरोधाभास अपनी गलत कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है की एक परिमेय संख्या है| अतः, हम निष्कर्ष निकलते हैं की एक अपरिमेय संख्या है|} Q27. Prove that is irrational number. { सिद्ध कीजिये की एक अपरिमेय संख्या है} year 2018, 2012 of 3 marks Ans. Lets is rational. Then, (where q≠0)
But this is contradiction to fact that is irrational. This contradiction has produced because of our wrong assumption that is rational. So, it concludes that is an irrational number. {माना की एक परिमेय संख्या है| तो, (जहाँ q≠0)
चूँकि 2, 3, p और q पूर्णांक है, इसलिए एक परिमेय संख्या होगी| तो भी एक परिमेय संख्या होगी| परन्तु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है की एक अपरिमेय संख्या है| हमें यह विरोधाभास अपनी गलत कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है की एक परिमेय संख्या है| अतः, हम निष्कर्ष निकलते हैं की एक अपरिमेय संख्या है|} Q28. Prove that is an irrational number. { सिद्ध कीजिये की एक अपरिमेय संख्या है} year 2017, 2013, 2009 of 3 marks Ans. Lets is rational. But this is contradiction to fact that is irrational. This contradiction has produced because of our wrong assumption that is rational. So, it concludes that is an irrational number. {माना की
एक परिमेय संख्या है| चूँकि 5, p और q पूर्णांक है, इसलिए एक परिमेय संख्या होगी| तो भी एक परिमेय संख्या होगी| परन्तु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है की एक अपरिमेय संख्या है| हमें यह विरोधाभास अपनी गलत कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है की एक परिमेय संख्या है| अतः, हम निष्कर्ष निकलते हैं की एक अपरिमेय संख्या है|} 9113323460  I hope you like it. If you like then please share it and you can also Donate to our website by my number and QR code which is given above. Thanks. Next ChapterPolynomials (बहुपद)96 और 404 का एचसीएफ क्या?(6,20) = 2 हो, तो L.C.M.
यदि 96 और 404 का HCF 4 हो तो उनका LCM क्या होगा?Find HCF (96, 404) if LCM (96, 404) = 9696.
प्रश्न 6 96 और 404 का LCM क्या होगा?<br> `"अतः L.C.M. "(96, 404)=9696.
6 72 और 120 का HCF क्या होगा?(6, 72, 120)=2^(1)xx3^(1)` <br> `=2xx3=6` <br> `2^(3), 3^(2)` और 5 प्रत्येक अभाज्य गुणनखण्ड की सबसे बड़ी घातें हैं, जो तीनों संख्याओं से संबंधित हैं। <br> अतः `L.C.M. (6, 72, 120)=2^(3)xx3^(2)xx5^(1)` <br> = 360. Step by step solution by experts to help you in doubt clearance & scoring excellent marks in exams.
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96और 404 का HCF या LCM ज्ञात कीजिये - 96aur 404 ka hchf ya lchm gyaat keejiye
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