2. 1/(sqrt(2)) सिद्ध करें कि अपरिमेय संख्या है। - 2. 1/(sqrt(2)) siddh karen ki aparimey sankhya hai.

Solution : आइए हम इसके विपरीत यह मन लेते है कि `sqrt(2) ` एक परिमेय संख्या है, तो दो पूर्णांक a और b इस प्रकार विद्यमान होंगे कि
`sqrt(2)=(a)/(b)`, जहाँ a और b सह-अभाज्य संख्याएँ है।
`rArr (sqrt(2))^(2)=((a)/(b))^(2)`
`rArr 2=(a^(2))/(b^(2))`
`rArr 2b^(2)=a^(2)`
`rArr 2।a^(2) " " [because 2।2b^(2) " तथा "2b^(2)=a^(2)]`
`rArr 2।a^(2) " " `[प्रमेय 2 से]... (i)
`rArr a=2c`, जहाँ c एक पूर्णांक है।
`rArr a^(2)=4c^(2)`
`rArr 2b^(2)=4c^(2) " " [ because 2b^(2) =a^(2)]`
`rArr b^(2)=2c^(2)`
`rArr 2।b^(2) " "[because2। 2c^(2)]`
`rArr 2।b " " `... (ii)
समीकरण (i ) तथा (ii ) से हम कह सकते है है कि a और b का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है। परन्तु यह इस तथ्य का विरोध करता है कि a और b में, 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ नहीं है। अतः हमारी परिकल्पना गलत है।
अतः `sqrt(2)` अपरिमेय संख्या है।

Solution : यदि सम्भव हो, तो मान लिया कि `1/sqrt(2)` परिमेय है|
तब p और q ऐसे पूर्णांक मिलेंगे कि `1/sqrt(2) = p/q, q ne 0`..............(i)
यदि p और q कोई उभयनिष्ट एकतार गुणनखंड है, तो हम काट देते है
तब `1/sqrt(2)= m/n`..............(ii)
जहाँ m और n पूर्णांक है जिनमे एकतार उभयनिष्ट गुणनखंड नहीं है, और `n ne 0` अर्थात m और n सह-अभाज्य हैं|
(ii) से हम पाते है कि `sqrt(2)m=n`
`rArr 2m^(2) = n^(2)`...................(iii)
`rArr 2, n^(2)` को विभाजित करता है| ..................(iii)
`rArr 2,n` को विभाजित करता है (प्रमेय से)..................(iv)
मान लिया `m=5k`
तब (iii) से `5n^(2) = 25k^(2)`
`rArr n^(2) = 5k^(2)`
`rArr 5,n^(2)` को विभाजित करता है|
`rArr 5,n` को विभाजित करता है| ....................(v )
(iv) और (v) से निष्कर्ष निकलता है कि m और n का उभयनिष्ट गुणनखंड 5 है|
यह हमारी मान्यता के, m और n के 1 से भिन्न उभयनिष्ट गुणनखंड नहीं है, के विरोधाभासी है| इस तरह हमारा यह मानना कि `sqrt(5)` एक परिमेय संख्या है, असत्य है|
अतः `sqrt(5)` एक अपरिमेय संख्या है|

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