वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिंदु को ............. कहते हैं।
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किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे .............बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
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वृत्त के दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को ............ कहते हैं।
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एक वृत्त की ............... समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
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एक वृत्त खींचिए और दो एक दी गई रेखा के समांतर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए की उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।
दी गई रेखा l के समांतर दो रेखाएँ m और n खींचिए। अब रेखाओं l, m और n से एक लंब xy खींचिए। रेखाखंड xy पर एक बिंदु O तथा रेखा m पर बिंदु P लीजिए। O केंद्र तथा OP को त्रिज्या लेकर वृत्त खींचिए जो n को Q तथा R पर प्रतिच्छेद करे। इस प्रकार m
स्पर्श रेखा तथा n छेदक रेखा होगी।
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एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
एक वृत्त की अपरिमित रूप से अनेक स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
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हेलो दोस्तों यहां पर प्रश्न है कि वित्त तथा उसकी स्पर्श रेखा क्यों बैलेंस भिंडी को क्या कहते हैं यह हमें बताना है ठीक तो यहां पर देखिए यहां पर एक हम यह क्या लिए वृत्त बना लिए थे अब कोई हम या पर क्या करते हैं बस ले खा ले खा लेते हैं ठीक है यह हमारी क्या है यह हमारी स्पर्श रेखा ठीक यह हमारा व्रत है जिसका केंद्रो है और यह हमने एक वृत्त रेखा एलपीजी हमने अब बोल रहा है कि इसके उदय निश्चित हिंदू है वह उसको क्या वजह से मार लीजिए हमारे दोनों में ही लगा हुआ बिंदु यह बड़ी बहन इस बिंदु हो गया मान लीजिए पी पर अब यह क्या है यह हमारी स्पर्श रेखा है यह हमारी क्या है यह हमारी स्पर्श रेखा है अब स्पर्श रेखा और वृत्त की उभयनिष्ठ धाम स्पर्श बिंदु कहते हैं यह जो है इसे हम क्या कहते हैं इसे हम स्पर्श बिंदु कहते हैं इस प्रेस का जो हाल हो जाएगा दोस्तों यह क्या हो जाएगा यहां पर मेरी स्थान पर क्या आएगा यहां पर हमारा आएगा वर्ष
हिंदू वर्ष बिंदु कहते हैं यही पृष्ठ का हाल है दोस्तों तो आशा करते प्रश्न आपको समझ में आया हूं धन्यवाद
अभ्यास 10.2
प्रश्न 1: एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 सेमी तथा Q की केंद्र से दूरी 25 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या है:
- 7 सेमी
- 12 सेमी
- 15 सेमी
- 24.5 सेमी
उत्तर:(a) 7 cm
व्याख्या: दिया गया है; PQ = 24 cm, OQ = 25 cm, OP = ?
ΔOPQ में
`OQ^2 = OP^2 + PQ^2`
या, `OP^2= OQ^2 – PQ^2`
`= 25^2 – 24^2`
`= 625 – 576 = 49`
या, `OP = 7` cm
प्रश्न 2: दी गई आकृति में यदि TP, TQ केंद्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠POQ=110°, तो ∠PTQ बराबर है:
- 60°
- 70°
- 80°
- 90°
उत्तर: (b) 70°
व्याख्या: यहाँ पर; `∠OPT = ∠OQT = 90°` (क्योंकि स्पर्श रेखा पर त्रिज्या अभिलम्ब होता है)
यहाँ पर, `∠POQ + ∠PTQ = 180°`
या, `110° + ∠PTQ = 180°`
या, `∠PTQ = 180° - 110°`
या, `∠PTQ = 70°`
प्रश्न संख्यां(1) एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
उत्तर: अपरिमित रूप से अनेक
ब्याख्या: चूँकि एक वृत्त की परिधि पर अपरिमित रूप से अनेक बिन्दु हो सकते हैं अत: एक वृत्त की अपरिमित रूप से अनेक स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
प्रश्न संख्यां (2) रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए
(i) किसी वृत की स्पर्श रेखा उसे ____________ बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
उत्तर: किसी वृत की स्पर्श रेखा उसे केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
ब्याख्या: रेखा जो एक वृत्त को केवल और केवल एक ही बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है, वृत्त की स्पर्श रेखा कहलाती है। अर्थात वृत की स्पर्श रेखा उसे केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती है।
(ii) वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को __________ कहते हैं।
उत्तर: वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को छेदक रेखा कहते हैं।
(iii) एक वृत्त की _______ समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
उत्तर: एक वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
ब्याख्या: चूँकि एक वृत्त की परिधि पर एक दूसरे से विपरीत अर्थात आमने सामने केवल दो बिन्दुएँ हो सकती हैं, अत: एक वृत्त की केवल दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
(iv) वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को _______ कहते हैं।
उत्तर: वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को स्पर्श बिन्दु कहते हैं।
प्रश्न संख्यां (3) 5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा PQ केन्द्र O से जाने वाली एक रेखा से बिन्दु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी। PQ की लम्बाई है:
(A) 12 सेमी
(B) 13 सेमी
(C) 8.5 सेमी
(D) `sqrt(119)` सेमी
उत्तर: (D) `sqrt(119)` सेमी
ब्याख्या:
मान लिया कि एक वृत्त है जिसका केन्द्र O है।
वृत्त की स्पर्श रेखा PQ है तथा OP वृत्त की त्रिज्या है।
अब प्रश्न के अनुसार OP = 5 cm
OQ = 12 cm
PQ=?
अब चूँकि OP वृत्त की त्रिज्या तथा PQ वृत्त की स्पर्श रेखा है।
अर्थात OP, PQ पर लम्ब है।
∴ ∠ OPQ = 900
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,
OQ2 = OP2 + PQ2
⇒ 122 = 52 + PQ2
⇒ 144 = 25 + PQ2
⇒ 144 – 25 = PQ2
⇒ 119 = PQ2
`:. PQ = sqrt(119)` सेमी उत्तर
प्रश्न संख्यां (4) एक वृत्त खींचिए और दो एक दी गई रेखा के समांतर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।
हल:
एक वृत खींचें जिसका केन्द्र O है।
तथा उस वृत के करीब एक रेखा AB खींचें।
AB पर वृत्त के केन्द्र O से जाती हुई एक लम्ब NO खींचें।
अब बिन्दु P पर एक लम्ब EF खींचें। यह EF पूर्व में खींचे गये वृत्त की स्पर्श रेखा है।
अब ON पर एक दूसरा बिन्दु M लें।
अब बिन्दु M पर GH एक लम्ब खींचें।
यहाँ रेखाएँ EF तथा GH रेखा AB के समांतर है।
यहाँ, EF वृत की स्पर्श रेखा है तथा वृत्त के नजदीक खींची गई रेखा AB के समांतर है।
तथा GH वृत्त की छेदक रेखा है तथा रेखा AB के समांतर है।
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