(2) यदि किसी समुच्चय में सभी संख्याएँ समान नहीं हैं, तो औसत सबसे छोटी संख्या से अधिक और समुच्चय में सबसे बड़ी संख्या से कम होगा।
उदाहरण : 32, 34, 38, 39, 43 और 42 के समुच्चय का औसत क्या है?
हल : औसत=\frac{संख्याओं\> का\> योग}{संख्याओं\> की\> संख्या}=\frac{32+34+ 38+ 39+ 43+ 42}{6}=\frac{228}{6}=38
यहां 38 >32 और 38<43
(3) समुच्चय संख्याओं के भारित औसत (Weighted Average) की गणना करने के लिए, समुच्चय में प्रत्येक संख्या को उसके प्रकट होने की संख्या से गुणा करें, सभी गुणनफल को जोड़ें, और समुच्चय में संख्याओं की कुल संख्या से विभाजित करें।
उदाहरण : 25 छात्रों की एक कक्षा ने विज्ञान की परीक्षा दी। 10 छात्रों का औसत 80 का था। अन्य 15 छात्रों का औसत 60 था। पूरी कक्षा का औसत क्या है?
हल : पूरी\> कक्षा\> का\> औसत=\frac{10(80)+15(60)}{25}=\frac{1700}{25}=68
समान्तर श्रेढ़ी
a,\> a+d,\> a+2d,\> a+3d,\> ………. एक समान्तर श्रेढ़ी है
जिसमें प्रथम पद = a, सार्वअंतर = d है।
∴ nवाँ पद = T_{n}=a+(n-1)d
∴ n पदों का योग =S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]=\frac{n}{2}[a+T_{n}]
कुछ महत्वपूर्ण सूत्र
(1) प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग
⇒ 1+2+3+4+5+…..+n=\frac{n(n+1)}{2}
(2) प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का औसत
⇒ \frac{1+2+3+4+5+…..+n}{n}=\frac{(n+1)}{2}
(3) प्रथम n सम संख्याओं का योग
⇒ 2+4+6+8+….+2n=n(n+1)
(4) प्रथम n सम संख्याओं का औसत
⇒ \frac{2+4+6+8+….+2n}{n}=(n+1)
(5) प्रथम n विषम संख्याओं का योग
⇒ 1+3+5+7+….+(2n-1)=n^{2}
(6) प्रथम n विषम संख्याओं का औसत
⇒ \frac{1+3+5+7+….+(2n-1)}{n}=n
(7) प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग
⇒ 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}……+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
(8) प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का औसत
⇒ \frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}……+n^{2}}{n}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}
(9) प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग
⇒ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}……+n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}
(10) प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के घनों का औसत
⇒ \frac{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}……+n^{3}}{n}=\frac{n(n+1)^{2}}{4}
(11) यदि दी गई प्रत्येक संख्या में K बढ़ा दिया जाता है, तो उनका औसत K बढ़ जाता है।
(12) यदि दी गई संख्याओं में से प्रत्येक को K से गुणा किया जाता है, तो उनका औसत K से गुणा हो जाता है।
(13) दो स्टेशनों P और Q के बीच की दूरी x किमी है। एक व्यक्ति P से Q तक की यात्रा a किमी/घंटा की गति से तय करता है और P पर वापस b किमी/घंटा की एकसमान गति से लौटता है। तो,
पूरी यात्रा के दौरान व्यक्ति की औसत गति = \frac{2ab}{a+b} किमी/घंटा
(14) समान दूरी तय करने के लिए तीन अलग-अलग गतियों (a, b, c) का औसत = \frac{3abc}{ab+bc+ac}
विभिन्न प्रकार के औसत(1) समान्तर माध्य (Arithmetic Mean) : यह सभी औसतों में सबसे लोकप्रिय रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए औसत आय, औसत लाभ, औसत आयु आदि ।
x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4},…… ,x_{n} परिमाणों के लिये उनका समान्तर माध्य (Arithmetic Mean) \bar{x} से प्रदर्शित होता है।
∴ \bar{x}=\frac{x_{1}+ x_{2}+ x_{3}+ x_{4}+…… +x_{n}}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}
(2) गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) : यह औसत जनसंख्या, विकास दर, औसत प्रतिशत वृद्धि आदि जैसे अनुपातों के औसत की गणना में उपयोगी है।
x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4},…… ,x_{n} परिमाणों के लिये उनका गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) G.M से प्रदर्शित होता है।
∴ G.M=(x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}…….x_{n})^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}…….x_{n}}=(\prod_{i=1}^{n}x_{i})^{\frac{1}{n}}
(3) हरात्मक माध्य (Harmonic Mean) : हरात्मक माध्य का उपयोग औसत गति की गणना और चलन वेग की गणना आदि जैसे में होता है।
x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4},…… ,x_{n} परिमाणों के लिये उनका हरात्मक माध्य (Harmonic Mean) H.M से प्रदर्शित होता है।
∴ H.M=\frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}+………+\frac{1}{x_{n}}}=\frac{n}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}}
औसत प्रश्न हल करने की ट्रिक
माना पांच लड़के A, B, C, D और E के पास क्रमश: ₹12, ₹15, ₹16, ₹14 और ₹18 है तो इनका औसत :
∴ औसत =\frac{12+15+16+14+18}{5}=\frac{75}{5}=15
औसत =15 हमें यह बता रहा है की अगर A, B, C, D और E के पास से रुपये लेकर अगर समान रूप से वितरित करें तो हर एक पास ₹15 आयेंगे।
⇒ अब मान लेते है इस दल में एक लड़का (E) निकल जाता है तो सभी 4 लड़को का औसत :
(1) अगर E अपने साथ ₹15 लेकर जाता है तो ये पिछले औसत के बराबर है तो नया औसत भी 15 होगा।
(2) अगर E अपने साथ ₹19 लेकर जाता है तो ये पिछले औसत से ₹4 ज्यादा लेकर जा रहा है तो ये सभी से ₹1 लेकर जा रहा है तो हर एक के पास ₹14 हो जायेगा तो नया औसत 14 होगा।
(3) अगर E अपने साथ ₹11 लेकर जाता है तो ये पिछले औसत से ₹4 कम लेकर जा रहा है तो ये सभी को ₹1 दे कर जा रहा है तो हर एक के पास ₹16 हो जायेगा तो नया औसत 16 होगा।
⇒ अब मान लेते है इस दल में एक और लड़का (F) जुड़ता है तो सभी 6 लड़को का औसत :
(1) अगर F अपने साथ ₹15 लेकर आता है तो ये पिछले औसत के बराबर है तो नया औसत भी 15 होगा।
(2) अगर F अपने साथ ₹21 लेकर आता है तो ये पिछले औसत से ₹6 ज्यादा लेकर आ रहा है तो अगर ये सभी 5 लड़को में ₹1 वितरित करें तो हर एक के पास ₹16 हो जायेगा तो नया औसत 16 होगा।
(3) अगर F अपने साथ ₹9 लेकर आता है तो ये पिछले औसत से ₹6 कम लेकर आ रहा है तो अगर सभी 5 लड़के अपना ₹1 F को देते है तो हर एक के पास ₹14 हो जायेगा तो नया औसत 14 होगा।
साधित उदाहरण
1) प्रथम 50 प्राकृतिक संख्याओं का औसत कितना है?
हल : सूत्र : प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का औसत = \frac{(n+1)}{2}
∴ प्रथम 50 प्राकृतिक संख्याओं का औसत = \frac{(50+1)}{2}= \frac{(51)}{2}=25.5
2) 60 तक की सभी विषम प्राकृत संख्याओं का औसत कितना है?
हल : 60 तक की सभी विषम प्राकृत संख्या = (1, 3, 5, 7, 9, …….., 59)
यह एक समान्तर श्रेढ़ी है जिसमें a = 1और d = 2 है।
सूत्र : nवाँ पद = T_{n}=a+(n-1)d
∴ 59 = 1 +(n-1)×2
∴ (n-1)=\frac{59-1}{2}=\frac{58}{2}=29
∴ n=29+1=30
सूत्र : प्रथम n विषम संख्याओं का औसत = n
∴ प्रथम 30 विषम संख्याओं का औसत = 30
∴ 60 तक की सभी विषम प्राकृत संख्याओं का औसत 30 है।
3) 50 तक की सभी सम प्राकृत संख्याओं का औसत कितना है?
हल : 50 तक की सभी सम प्राकृत संख्या = (2, 4, 6, 8, ………. , 50)
यह एक समान्तर श्रेढ़ी है जिसमें a = 2और d = 2 है।
सूत्र : nवाँ पद = T_{n}=a+(n-1)d
∴ 50 = 2 +(n-1)×2
∴ (n-1)=\frac{50-2}{2}=\frac{48}{2}=24
∴ n=24+1=25
सूत्र : प्रथम n सम संख्याओं का औसत = (n+1)
∴ प्रथम 25 सम संख्याओं का औसत = (25+1) = 26
∴ 50 तक की सभी सम प्राकृत संख्याओं का औसत = 26
4) प्रथम दस अभाज्य संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए?
हल : प्रथम दस अभाज्य संख्या = (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29)
∴ प्रथम दस अभाज्य संख्याओं का योग = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29
∴ प्रथम दस अभाज्य संख्याओं का योग = 129
∴ प्रथम दस अभाज्य संख्याओं का औसत = \frac{129}{10}=12.9
5) तीन लड़कों की औसत आयु 15 वर्ष है। यदि उनकी आयु 3:5:7 के अनुपात में है। सबसे छोटे लड़के की आयु क्या है?
हल : तीन लड़कों की आयु 3:5:7 के अनुपात में है तो
∴ माना तीन लड़कों की आयु 3x, 5x, 7x है।
∴ औसत = \frac{3x+ 5x+ 7x}{3}
∴ 15 =\frac{15x}{3}=5x
∴ x=\frac{15}{5}=3
∴ सबसे छोटे लड़के की आयु = 3x = 3 × 3 = 9वर्ष
6) आठ संख्याओं का औसत 14 है। इनमें से छह संख्याओं का औसत 16 है। शेष दो संख्याओं का औसत क्या है?
हल : आठ संख्याओं का औसत = \frac{आठ\> संख्याओं\> का\> योग }{8 }
∴ 14 = \frac{आठ\> संख्याओं\> का\> योग }{8 }
∴ आठ संख्याओं का योग = 14 × 8 = 112
∴ छह संख्याओं का औसत = \frac{छह\> संख्याओं\> का\> योग }{6 }
∴ 16 = \frac{छह\> संख्याओं\> का\> योग }{6 }
∴ छह संख्याओं का योग = 16 × 6 = 96
∴ शेष दो संख्याओं का योग = 112 – 96 =16
∴ दो संख्याओं का औसत = \frac{दो\> संख्याओं\> का\> योग }{2 }
∴ दो संख्याओं का औसत = \frac{16 }{2 }=8
7) 30, 60, 90, 120, 150, 180 का औसत ज्ञात कीजिए?
हल : औसत = \frac{30+60+ 90+ 120+ 150+ 180}{6}=30×\frac{1+2+ 3+ 4+ 5+ 6}{6}
सूत्र : प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का औसत = \frac{(n+1)}{2}
∴ प्रथम 6 प्राकृतिक संख्याओं का औसत = \frac{(6+1)}{2}= \frac{(7)}{2}=3.5
∴ औसत = 30 × 3.5 = 105
8) 7 के प्रथम 30 गुणजों का औसत ज्ञात कीजिए?
हल : औसत = \frac{(7×1)+(7×2)+(7×3)+………+(7×30)}{30}=7×\frac{1+2+3+………+30}{30}
सूत्र : प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का औसत = \frac{(n+1)}{2}
∴ प्रथम 30 प्राकृतिक संख्याओं का औसत = \frac{(30+1)}{2}= \frac{(31)}{2}=15.5
∴ औसत = 7 × 15.5 = 108.5
9) 11 परिणामों का औसत 50 है। यदि पहले छह परिणामों का औसत 49 और अंतिम छह का औसत 52 है, तो छठा परिणाम ज्ञात कीजिए?
हल : 11 परिणामों का औसत = \frac{11 \> परिणामों\> का\> योग }{11 }
∴ 50 = \frac{11 \> परिणामों\> का\> योग }{11 }
∴ 11 परिणामों का योग = 50 × 11 = 550
∴ पहले छह परिणामों का योग = 49 × 6 = 294
∴ अंतिम छह परिणामों का योग = 52 × 6 = 312
∴ छठा परिणाम = 294 + 312 – 550 = 56
10) सप्ताह के पहले 4 दिनों का औसत तापमान 20°C था और सप्ताह के अंतिम 4 दिनों का औसत तापमान 30°C था। यदि पूरे सप्ताह का औसत तापमान 22°c था, तो चौथे दिन का तापमान क्या था?
हल : पूरे सप्ताह के तापमान का योग = 7 × 22 = 154°c
∴ पहले 4 दिनों के तापमान का योग = 4 × 20 = 80°c
∴ अंतिम 4 दिनों के तापमान का योग = 4 × 30 = 120°c
∴ चौथे दिन का तापमान = 80+120-154 = 46°c
11) चार क्रमागत सम संख्याओं का औसत 53 है। इनमें से सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए?
हल : माना चार क्रमागत सम संख्या x, x+2, x+4,x+6 है।
चार क्रमागत सम संख्याओं का औसत 53 है ⇒ \frac{x+x+2+x+4+x+6}{4}=53
∴ 4x+12=53×4=212
∴ x=\frac{212-12}{4}=\frac{200}{4}=50
∴ चार क्रमागत सम संख्या 50, 52, 54,56 है।
∴ सबसे बड़ी संख्या 56 है।
दूसरे तरीके से हल :
चार क्रमागत सम संख्या है और उनका औसत 53 है 53 एक विषम संख्या है। 53 के पहले की सम संख्या 52 और बाद की सम संख्या 54 है। दो क्रमागत सम संख्या का अंतर 2 होता है तो 52 के पहले की सम संख्या 50 और 54 के बाद की सम संख्या 56 है।
चार क्रमागत सम संख्या 50, 52, 54,56 है।
∴ सबसे बड़ी संख्या 56 है।
12) पाँच क्रमागत सम संख्याओं का औसत 26 है। इनमें से सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए?
हल : माना पाँच क्रमागत सम संख्या x, x+2, x+4,x+6,x+8 है।
पाँच क्रमागत सम संख्याओं का औसत 26 है ⇒ \frac{x+x+2+x+4+x+6+x+8}{5}=26
∴ 5x+20=26×5=130
∴ x=\frac{130-20}{5}=\frac{110}{5}=22
∴ पाँच क्रमागत सम संख्या 22, 24, 26,28,30 है।
∴ सबसे छोटी संख्या 22 है।
दूसरे तरीके से हल :
पाँच क्रमागत सम संख्या है और उनका औसत 26 है 26 एक सम संख्या है। दो क्रमागत सम संख्या का अंतर 2 होता है तो 26 के पहले की सम संख्या 24 और बाद की सम संख्या 28 है।24 के पहले की सम संख्या 22 और 28 के बाद की सम संख्या 30 है।
∴ पाँच क्रमागत सम संख्या 22, 24, 26,28,30 है।
∴ सबसे छोटी संख्या 22 है।
13) चार क्रमागत विषम संख्याओं का औसत 74 है। इनमें से सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए?
हल : माना चार क्रमागत विषम संख्या x, x+2, x+4,x+6 है।
चार क्रमागत विषम संख्याओं का औसत 74 है ⇒ \frac{x+x+2+x+4+x+6}{4}=74
∴ 4x+12=74×4=296
∴ x=\frac{296-12}{4}=\frac{284}{4}=71
∴ चार क्रमागत विषम संख्या 71, 73, 75,77 है।
∴ सबसे छोटी संख्या 71 है।
दूसरे तरीके से हल :
चार क्रमागत सम विषम है और उनका औसत 74 है 74 एक सम संख्या है। 74 के पहले की विषम संख्या 73 और बाद की विषम संख्या 75 है। दो क्रमागत विषम संख्या का अंतर 2 होता है तो 73 के पहले की विषम संख्या 71 और 75 के बाद की विषम संख्या 77 है।
∴ चार क्रमागत विषम संख्या 71, 73, 75,77 है।
∴ सबसे छोटी संख्या 71 है।
14) पाँच क्रमागत विषम संख्याओं का औसत 41 है। इनमें से सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए?
हल : माना पाँच क्रमागत विषम संख्या x, x+2, x+4,x+6,x+8 है।
पाँच क्रमागत विषम संख्याओं का औसत 41 है ⇒ \frac{x+x+2+x+4+x+6+x+8}{5}=41
∴ 5x+20=41×5=205
∴ x=\frac{205-20}{5}=\frac{185}{5}=37
∴ पाँच क्रमागत विषम संख्या 37, 39, 41,43,45 है।
∴ सबसे बड़ी संख्या 45 है।
दूसरे तरीके से हल :
पाँच क्रमागत विषम संख्या है और उनका औसत 41 है 41 एक विषम संख्या है। दो क्रमागत विषम संख्या का अंतर 2 होता है तो 41 के पहले की विषम संख्या 39 और बाद की विषम संख्या 43 है।39 के पहले की विषम संख्या 37 और 43 के बाद की विषम संख्या 45 है।
∴ पाँच क्रमागत विषम संख्या 37, 39, 41,43,45 है।
∴ सबसे बड़ी संख्या 45 है।
15) यदि x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5} पाँच क्रमागत विषम संख्याएँ हैं तो इन संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए?
हल : x_{1} पहली विषम संख्या है तो
∴ x_{2}=x_{1}+2
∴ x_{3}=x_{2}+2= x_{1}+2+2= x_{1}+4
∴ x_{4}=x_{3}+2=x_{1}+4+2= x_{1}+6
∴ x_{5}=x_{4}+2=x_{1}+6+2 =x_{1}+8
∴ औसत = \frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}}{5}
∴ औसत = \frac{x_{1}+x_{1}+2+x_{1}+4+x_{1}+6+x_{1}+8}{5}
∴ औसत = \frac{5x_{1}+20}{5}=x_{1}+4
16) 30 छात्रों का औसत धन ₹50 है। यदि एक नया छात्र जुड़ता है तो नया औसत ₹51 हो जाता है। तो नए छात्र द्वारा कितनी राशि लाई गई?
हल : 30 छात्रों का औसत धन ₹50 है ⇒
∴ माना एक नया छात्र (A) जुड़ता है तो नया औसत ₹51 हो जाता है ⇒
∴ A के जोड़ने से औसत में ₹1 बढ़ रहा है ⇒
∴ 30 छात्रों का औसत धन ₹50 है यानि हम मान सकते है की हर एक के पास ₹50 है। A के जोड़ने से नया औसत ₹51 हो जाता है। यानि हर एक के पास ₹51 होना चाहिए, तो A के पास ₹51 और अपने साथ +1×30=₹30 ज्यादा लेकर आ रहा है अन्य लोगो के लिए।
∴ A की राशि = 51 +30 = ₹81
∴ नए छात्र द्वारा ₹81 राशि लाई गई है।
17) 34 छात्रों के समूह की औसत आयु 19 वर्ष है. शिक्षक की आयु इसमें सम्मिलित किये जाने पर नया औसत आयु 20 वर्ष हो जाती है तो शिक्षक की आयु ज्ञात कीजिए।
हल : 34 छात्रों के समूह की औसत आयु 19 वर्ष है. शिक्षक (A) की आयु इसमें सम्मिलित किये जाने पर नया औसत आयु 20 वर्ष हो जाती है
∴ 34 छात्रों का औसत आयु 19वर्ष है यानि हम मान सकते है की हर एक की आयु 19वर्ष है। A के जोड़ने से नया औसत 20वर्ष हो जाता है। यानि हर एक की आयु 20वर्ष होना चाहिए, तो A के आयु 20वर्ष और अपने साथ +1×34=34वर्ष ज्यादा लेकर आ रहा है अन्य लोगो के लिए।
∴ A की आयु = 20 + 34 = 54वर्ष
∴ शिक्षक की आयु 54वर्ष है।
18) 20 छात्रों का औसत धन ₹30 है। यदि एक नया छात्र जुड़ता है तो नया औसत ₹29 हो जाता है। तो नए छात्र द्वारा कितनी राशि लाई गई?
हल : 20 छात्रों का औसत धन ₹30 है। यदि एक नया छात्र (A) जुड़ता है तो नया औसत ₹29 हो जाता है।
∴ 20 छात्रों का औसत धन ₹30 है यानि हम मान सकते है की हर एक के पास ₹30 है। A के जोड़ने से नया औसत ₹29 हो जाता है। यानि हर एक के पास ₹29 होना चाहिए, तो A के पास ₹29 और अपने साथ -1×20=-₹20 कम लेकर आ रहा है।
∴ A की राशि = 29 – 20 = ₹9
∴ नए छात्र द्वारा ₹9 राशि लाई गई है।
19) 40 छात्रों का औसत धन ₹30 है। यदि 2 नए छात्र शामिल होते हैं तो नया औसत ₹30.5 हो जाता है। तो नए छात्रों द्वारा लाए गए राशि का योग ज्ञात कीजिए?
हल : 40 छात्रों का औसत धन ₹30 है। यदि 2 नए छात्र (A & B) शामिल होते हैं तो नया औसत ₹30.5 हो जाता है।
∴ 40 छात्रों का औसत धन ₹30 है यानि हम मान सकते है की हर एक के पास ₹30 है। A & B के जोड़ने से नया औसत ₹30.5 हो जाता है। यानि हर एक के पास ₹30.5 होना चाहिए, तो A & B के पास 30.5+30.5=₹61 और अपने साथ +0.5×40=₹20 ज्यादा लेकर आ रहा है अन्य लोगो के लिए।
∴ A और B की राशि = 61 + 20 = ₹81
∴ नए छात्रों द्वारा लाए गए राशि का योग ₹81 है।
20) 40 छात्रों का औसत धन ₹30 है। यदि 2 नए छात्र शामिल होते हैं तो नया औसत ₹30.5 हो जाता है। तो नए छात्रों द्वारा लाए गए राशि का औसत ज्ञात कीजिए?
हल : 40 छात्रों का औसत धन ₹30 है। यदि 2 नए छात्र (A & B) शामिल होते हैं तो नया औसत ₹30.5 हो जाता है।
∴ 40 छात्रों का औसत धन ₹30 है यानि हम मान सकते है की हर एक के पास ₹30 है। A & B के जोड़ने से नया औसत ₹30.5 हो जाता है। यानि हर एक के पास ₹30.5 होना चाहिए, तो A & B के पास 30.5+30.5=₹61 और अपने साथ +0.5×40=₹20 ज्यादा लेकर आ रहा है अन्य लोगो के लिए।
∴ A और B की राशि = 61 + 20 = ₹81
∴ A और B का औसत =\frac{81}{2}= ₹40.5
∴ नए छात्रों द्वारा लाए गए राशि का औसत ₹40.5 है।
21) 30 छात्रों के पास निश्चित औसत धन है, अब ₹120 के साथ एक और छात्र उनके साथ जुड़ जाता है ताकि नए औसत में ₹1 की वृद्धि हो। सभी 31 छात्रों का नया औसत ज्ञात कीजिए?
हल : माना 30 छात्रों का औसत धन ₹x है। यदि एक नया छात्र (A) ₹120 के साथ शामिल होता हैं तो नए औसत में ₹1 की वृद्धि होती है तो नया औसत ₹(x+1) हो जायेगा।
∴ नए औसत में ₹1 की वृद्धि हो रही है यानि A अपने साथ औसत से ज्यादा धन लेकर आ रहा है।
∴ A अपने साथ +1×30=₹30 ज्यादा लेकर आ रहा है तो नया औसत = 120-30 = ₹90
∴ A के पहले का औसत = 90-1 = ₹89 (अगर प्रश्न में पूछेगा तो)
∴ सभी 31 छात्रों का नया औसत ₹90 है।
22) 40 छात्रों के पास निश्चित औसत धन है, अब ₹50 के साथ एक और छात्र उनके साथ जुड़ जाता है तो नए औसत में ₹0.5 की कमी होती है सभी 41 विद्यार्थियों का नया औसत ज्ञात कीजिए?
हल : माना 40 छात्रों का औसत धन ₹x है। यदि एक नया छात्र (A) ₹50 के साथ शामिल होता हैं तो नए औसत में ₹0.5 की कमी होती है तो नया औसत ₹(x-0.5) हो जायेगा।
∴ नए औसत में ₹0.5 की कमी हो रही है यानि A अपने साथ औसत से कम धन लेकर आ रहा है।
∴ A अपने साथ -0.5×40=₹20 कम लेकर आ रहा है तो नया औसत = 50+20 = ₹70
∴ A के पहले का औसत = 70+0.5 = ₹70.5 (अगर प्रश्न में पूछेगा तो)
∴ सभी 41 विद्यार्थियों का नया औसत ₹70 है।
23) 30 छात्रों के पास एक निश्चित औसत धन है, अब ₹50 और ₹40 के साथ 2 और छात्र उनके साथ जुड़ जाते हैं तो नया औसत 1 बढ़ जाता है। सभी 32 छात्रों का नया औसत ज्ञात कीजिए?
हल : माना 30 छात्रों का औसत धन ₹x है। यदि 2 नया छात्र (A & B) ₹50 और ₹40 के साथ शामिल होता हैं तो नए औसत में ₹1 की वृद्धि होती है तो नया औसत ₹(x+1) हो जायेगा।
∴ A और B द्वारा लाई गई राशि का योग = 50+40 = 90
∴ नए औसत में ₹1 की वृद्धि हो रही है यानि A और B अपने साथ औसत से ज्यादा धन लेकर आ रहा है।
∴ A और B अपने साथ +1×30=₹30 ज्यादा लेकर आ रहा है तो नए औसत के हिसाब से A और B दोनों का मिलकर 90-30=₹60 आयेगा।
∴ नया औसत = \frac{60}{2}= ₹30
∴ A और B से पहले का औसत = 30-1 = ₹29 (अगर प्रश्न में पूछेगा तो)
∴ सभी 32 छात्रों का नया औसत ₹30 है।
24) कुछ छात्रों का औसत धन ₹30 है, अब ₹50 के साथ एक और छात्र उनके साथ जुड़ जाता है ताकि पूरे समूह का नया औसत ₹32 हो जाए। ज्ञात कीजिए कि कुल कितने छात्र हैं?
हल : माना x छात्रों का औसत धन ₹30 है। यदि एक नया छात्र (A) ₹50 के साथ शामिल होता हैं तो नए औसत ₹32 हो जायेगा।
∴ नए औसत में ₹2 की वृद्धि हो रही है यानि A अपने साथ औसत से ज्यादा धन लेकर आ रहा है।
∴ A अपने साथ +2×x = ₹2x ज्यादा लेकर आ रहा है।
∴ नया औसत ₹32 है तो A अपने साथ = 50-32 = 18 ज्यादा लेकर आ रहा है।
∴ 2x = 18
∴ x = 9
∴ कुछ छात्रों की संख्या =9+1 = 10 है।
25) कुछ छात्रों का औसत धन ₹123 है, अब ₹60 के साथ एक और छात्र उनके साथ जुड़ जाता है ताकि पूरे समूह का नया औसत ₹120 हो जाए। ज्ञात कीजिए कि कुल कितने छात्र हैं?
हल : माना x छात्रों का औसत धन ₹123 है। यदि एक नया छात्र (A) ₹60 के साथ शामिल होता हैं तो नए औसत ₹120 हो जायेगा।
∴ नए औसत में -3 की कमी हो रही है यानि A अपने साथ औसत से कम धन लेकर आ रहा है।
∴ A अपने साथ -3×x = -₹3x कम लेकर आ रहा है।
∴ नया औसत ₹120 है तो A अपने साथ = 120-60 = 60 कम लेकर आ रहा है।
∴ 3x = 60
∴ x = 20
∴ कुछ छात्रों की संख्या =20+1 = 21 है।
26) एक बल्लेबाज का कई पारियों में औसत स्कोर 21.75 प्रति पारी था। अगली तीन पारियों में, उन्होंने 23, 34 और 37 रन बनाए और सभी पारियों के लिए उनका औसत 1.25 बढ़ गया। उसने कुल कितनी पारियां खेली?
हल : माना बल्लेबाज ने x पारियां खेली है। अगली तीन पारियों (A, B & C) में, उन्होंने 23, 34 और 37 रन बनाए तो नए औसत 1.25 बढ़ गया।
∴ तीन पारियों (A, B & C) में +1.25×x = 1.25x ज्यादा स्कोर किया है।
∴ अगली तीन पारियों (A, B & C) का योग = 23+34+37 = 94
∴ नया औसत = 23 है यानि की तीन पारियों (A, B & C) का स्कोर 23 मान सकते है। नए औसत के हिसाब से तीन पारियों (A, B & C) का योग = 23+23+23 = 69
∴ A, B & C द्वारा =94-69 = 25 ज्यादा स्कोर किया है।
∴ 1.25x = 25
∴ x = \frac{25}{1.25} = 20
∴ बल्लेबाज ने =20+3 = 23 पारियां खेली है।
27) एक कक्षा के 20 बच्चों का औसत भार 25 किलो है। जब 40 किलो, 36 किलो और 22 किलो वजन वाले तीन और बच्चे कक्षा में शामिल होते हैं, तो कक्षा में 23 बच्चों का औसत भार कितना होगा?
हल : 20 बच्चों का औसत भार 25 किलो है तीन और बच्चे (A, B & C) कक्षा में शामिल होते हैं।
∴ तीन बच्चों (A, B & C) के भार का योग = 40+36+22 = 98किलो
∴ 20 बच्चों का औसत भार 25 किलो है तो औसत भार के हिसाब से (A, B & C) के भार का योग = 25+25+25 = 75किलो
∴ तीन बच्चों (A, B & C) द्वारा लाये गए अतिरिक्त भार = 98-75 = 23किलो
∴ यह अतिरिक्त भार 23किलो 23 बच्चों में 1 किलो बाँटने पर हर एक का भार 25+1=26 हो जायेगा।
∴ कक्षा में 23 बच्चों का औसत भार 26किलो होगा।
28) 25 बच्चों का एक निश्चित औसत वजन होता है। जब 65 किग्रा, 75 किग्रा और 35 किग्रा वजन वाले तीन और बच्चे कक्षा में शामिल होते हैं, तो 28 बच्चों का औसत वजन 50 किग्रा हो जाता है। 25 बच्चों का औसत भार ज्ञात कीजिए।
हल : माना 25 बच्चों का औसत वजन x है तीन और बच्चे (A, B & C) कक्षा में शामिल होते हैं, तो 28 बच्चों का औसत वजन 50 किग्रा हो जाता है।
∴ तीन बच्चों (A, B & C) के भार का योग = 65+75+35 = 175 किग्रा
∴ नया औसत = 50 किग्रा है यानि की तीनों बच्चों (A, B & C) का भार 50 मान सकते है। नए औसत के हिसाब से तीनों बच्चों (A, B & C) के भार का योग = 50+50+50 = 150 किग्रा
∴ A, B & C द्वारा लाये गए अतिरिक्त भार = 175-150 = 25किग्रा
∴ 25किग्रा को 25 बच्चों में बांटने पर हर एक बच्चे को 1किग्रा मिलेगा यानि +1 की वृद्धि हो रही है।
∴ 25 बच्चों का औसत भार 49 है।
29) एक क्रिकेटर जिसकी गेंदबाजी का औसत 24.85 रन प्रति विकेट है। 52 रन देकर 5 विकेट लेता है और इस तरह उसका औसत 0.85 रन कम हो जाता है। पिछले मैच तक उसके द्वारा लिए गए विकेटों की संख्या ज्ञात कीजिए?
हल : माना पिछले मैच तक गेंदबाज ने x विकेट लिए है तो इसका औसत 24.85 रन प्रति विकेट है। 52 रन देकर 5 विकेट लेने पर इसका औसत 0.85 रन कम हो जाता है।
∴ नए औसत में -0.85 रन की कमी हो रही है यानि गेंदबाज द्वारा 52 रन देकर 5 विकेट लेने से औसत में कमी आई है।
∴ 5 विकेट गेंदबाज -0.85×x = -0.85x कम रन देकर विकेट ले रहा है।
∴ नया औसत 24 है यानि 24 रन पर एक विकेट मिल रहा है तो 5 विकेट के लिए रन = 24×5 = 120रन
लेकिन 5 विकेट = 120-52 = 68 कम रन देकर विकेट लिया है।
∴ 0.85x = 68
∴ x = \frac{68}{0.85} = 80
∴ पिछले मैच तक गेंदबाज द्वारा लिए गए विकेटों की संख्या 80 है।
30) एक क्रिकेटर की गेंदबाजी औसत 12.4 रन था। जब उसने अपने आखिरी मैच में 26 रन देकर 5 विकेट लिए, तो उसने अपने गेंदबाजी औसत में 0.2 रन का सुधार किया। पिछले मैच से पहले उसके द्वारा लिए गए विकेटों की संख्या ज्ञात कीजिए?
हल : ( * किसी गेंदबाज की औसत जितनी कम होगी उतना अच्छा होता है।)
माना मैच से पहले गेंदबाज ने x विकेट लिए है तो इसका औसत 12.4 रन प्रति विकेट है। 26 रन देकर 5 विकेट लेने पर इसका औसत 0.2 रन कम हो जाता है।
∴ नए औसत में -0.2 रन की कमी हो रही है यानि गेंदबाज द्वारा 26 रन देकर 5 विकेट लेने से औसत में कमी आई है।
∴ 5 विकेट गेंदबाज -0.2×x = -0.2x कम रन देकर विकेट ले रहा है।
∴ नया औसत 12.2 है यानि 12.2 रन पर एक विकेट मिल रहा है तो 5 विकेट के लिए रन = 12.2×5 = 61रन
लेकिन 5 विकेट = 61-26 = 35 कम रन देकर विकेट लिया है।
∴ 0.2x = 35
∴ x = \frac{35}{0.2} = 175
∴ मैच से पहले गेंदबाज द्वारा लिए गए विकेटों की संख्या 175 है।
31) एक पति और पत्नी की औसत आयु 27 वर्ष थी जब उन्होंने 4 वर्ष पहले शादी की थी। पति, पत्नी और नवजात बच्चे की औसत आयु अब 21 वर्ष है। बच्चे की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए?
हल : 4 वर्ष पहले पति(H) और पत्नी(W) की औसत आयु 27 वर्ष थी :
∴ अब 4 वर्ष बाद पति(H) और पत्नी(W) की आयु में 4 वर्ष बढ़ गए तो अब इनका औसत आयु 31वर्ष होगा। नवजात बच्चे के जुड़ने से नया औसत आयु अब 21 वर्ष है।
∴ पति(H) और पत्नी(W) की औसत आयु 31वर्ष है यानि हम मान सकते है की हर एक की आयु 31वर्ष है। नवजात बच्चे के जोड़ने से नया औसत 21वर्ष हो जाता है। यानि हर एक की आयु 21वर्ष होना चाहिए, तो नवजात बच्चे की आयु 21वर्ष और अपने साथ -10×2=-20वर्ष कम लेकर आ रहा है अन्य लोगो के लिए।
∴ नवजात बच्चे की वर्तमान आयु = 21 – 20 = 1वर्ष है।
32) 3 वर्ष पहले, एक परिवार के 5 सदस्यों की औसत आयु 17 वर्ष थी। अब 6 सदस्यों की औसत आयु समान 17 वर्ष है। यदि इस अवधि में बच्चे का जन्म होता है। नवजात की वर्तमान आयु क्या है?
हल : 3 वर्ष पहले, एक परिवार के 5 सदस्यों की औसत आयु 17 वर्ष थी ।
∴ अब 3 वर्ष बाद हर 5 सदस्यों की आयु में 3 वर्ष बढ़ गए तो अब इनका औसत आयु 20वर्ष होगा। नवजात बच्चे के जुड़ने से नया औसत आयु अब 17 वर्ष है।
∴ 5 सदस्यों की आयु की औसत आयु 20वर्ष है यानि हम मान सकते है की हर एक की आयु 20वर्ष है। नवजात बच्चे के जोड़ने से नया औसत 17वर्ष हो जाता है। यानि हर एक की आयु 17वर्ष होना चाहिए, तो नवजात बच्चे की आयु 17वर्ष और अपने साथ -3×5=-15वर्ष कम लेकर आ रहा है।
∴ नवजात बच्चे की वर्तमान आयु = 17 – 15 = 2वर्ष है।
33) 30 छात्रों के पास औसत धन ₹40 हैं। A समूह छोड़ देता है और शेष 29 छात्रों का औसत ₹39 हो जाता है।वह धन ज्ञात कीजिए जो A अपने साथ ले गया?
हल : 30 छात्रों का औसत धन ₹40 हैं। A समूह छोड़ देता है और शेष 29 छात्रों का औसत ₹39 हो जाता है।
∴ A के जाने से औसत में -1 की कमी आई है यानि A अपने साथ औसत से ज्यादा धन लेकर जा रहा है।
∴ पहले औसत ₹40 था यानि हम मान सकते है की हर एक के पास ₹40 था। A के पास ₹40 थे लेकिन औसत में -1 की कमी आई है यानि A अपने साथ हर एक से ₹1 ले कर जा रहा है।
∴ A अपने साथ 1×29 = ₹29 औसत से ज्यादा धन लेकर जा रहा है।
A अपने साथ 40+29 = ₹69 लेकर जा रहा है।
34) 80 संख्याओं का औसत 40 है। यदि एक संख्या 119 को छोड़ दिया जाए, तो शेष संख्या का औसत ज्ञात कीजिए?
हल :
∴ पहले औसत 40 था यानि हम मान सकते है की हर एक के पास 40 था।
∴ A अपने साथ 119 -40 = 79 ज्यादा लेकर जा रहा है।
∴ A के जाने से अभी 79 संख्या बची है प्रत्येक 79 संख्याओं से \frac{79}{79}=1 लेकर रहा है।
∴ शेष संख्या का औसत 39 है।
35) 50 संख्याओं का औसत 30 है। यदि दो संख्याएँ 60 और 48 को छोड़ दिया जाए, तो शेष संख्या का औसत ज्ञात कीजिए?
हल :
∴ पहले औसत 30 था यानि हम मान सकते है की हर एक के पास 30 था। A & B अपने साथ 30+30=60 लेकर जाना तो लेकिन वो अपने साथ 60+48=108 लेकर गए।
∴ A & B अपने साथ 108 -60 = 48 ज्यादा लेकर जा रहा है।
∴ A & B के जाने से अभी 48 संख्या बची है प्रत्येक 48 संख्याओं से \frac{48}{48}=1 लेकर रहा है।
∴ शेष संख्या का औसत 29 है।
36) 50 संख्याओं का औसत 36 ज्ञात किया गया। बाद में पता चला कि 48 के स्थान पर 23 ले लिया गया था। शुद्ध औसत क्या है?
हल : 48 के स्थान पर 23 ले लिया गया था
∴ 48-23 = 25 अंक कम लिया गया था। यह 25, 50 संख्याओं में बाँटने पर \frac{25}{50}=0.5 आता है
∴ नया औसत में 0.5 की वृद्धि होगी। ⇒ नया औसत = 36+0.5=36.5
∴ शुद्ध औसत 36.5 है।
37) 40 संख्याओं का औसत 50 है। A को B से बदल दिया जाता है तो औसत 1 घट जाता है। यदि A का मान 100 है तो B का मान ज्ञात कीजिए?
हल :
∴ A को B से बदलने पर औसत में -1 की कमी होती है। यानी B, A से कम लेकर आ रहा है।
∴ B अपने साथ -1×40=40 कम लेकर आ रहा है।
∴ B का मान = 100-40 = 60
38) 20 संख्या का औसत 30 है। यदि A का मान 60 है और B का मान 50 है, तो A को B से बदल दिया जाता हैतो नया औसत ज्ञात कीजिए?
हल :
∴ A का मान 60 है और B का मान 50 है ⇒ B, 60-50=10 कम लेकर आया है तो नया औसत कम होगी।
∴ यह 10 सभी 20 संख्या के पास से \frac{10}{20}=0.5 लेने पर मिल जायेगा।
∴ नया औसत में 0.5 की कमी आई है। नया औसत = 30-0.5 = 29.5
39) एक कक्षा में 30 विद्यार्थी हैं। पहले 10 छात्रों की औसत आयु 12 वर्ष है। अगले 20 छात्रों की औसत आयु 15 वर्ष है। पूरी कक्षा के छात्रों की औसत आयु क्या है?
हल :
∴ 10 छात्रों की औसत आयु 12 वर्ष है। अगले 20 छात्रों की औसत आयु 15 वर्ष है तो पूरी कक्षा के छात्रों की औसत 12 वर्ष से ज्यादा ही होगा।
∴ मान लेते है की सभी 30 छात्रों का औसत 12वर्ष है। 20 छात्रों के पास +3×20=60 वर्ष अधिक है। ये 60 वर्ष को सभी 30 छात्रों में बाँटने पर हर एक को \frac{60}{30}=2वर्ष अधिक आएगा।
∴ पूरी कक्षा के छात्रों की औसत आयु = 12वर्ष + 2वर्ष = 14वर्ष
40) 25 परिणामों का औसत 18 है। उनमें से पहले बारह का औसत 14 है और अंतिम 12 का 17 है। तेरहवां परिणाम क्या है?
हल :
∴ 25 परिणामों का औसत 18 है। पहले बारह का परिणाम औसत से 4 कम है और अंतिम 12 का परिणाम औसत से 1 कम है।