निम्न में से कौन सी संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है?

(i) दी गई संख्या 121 में से क्रमश: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 घटाएँ।
  121 - 1 = 120,       120 - 3 = 117,         117 - 5 = 112       
  112 - 7 = 105,       105 - 9 = 96,           96 -11 = 85
  85 - 13 = 72,         72 -15 = 57,            57-17 = 40
  40 - 19 = 21          21 - 21 = 0

इसका अर्थ है  121 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21

 121 एक पूर्ण वर्ग संख्या है।

(ii) दी गई संख्या 55 में से क्रमश: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 घटाएँ।
 55 - 1 = 54,    54 - 3 = 51,    51 - 5 = 46,    46 - 7 = 39,
 39 - 9 = 30,    30 - 11 = 19,  19 -13 = 6,     6 - 15 = -9
यह दर्शाता है कि 55 को 1 से प्रारंभ होने वाली विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं।   
 

 55 एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

(iii) दी गई संख्या 81 में से क्रमश: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 घटाएँ।
81 - 1 = 80,   80 - 3 = 77,    77 -5 = 72,  72 - 7 = 65,
65 - 9 = 56,   56 - 11 = 45,  45-13 =32,   32 - 15 = 17,
17 - 17 = 0
इसका अर्थ है  81 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 

 एक पूर्ण वर्ग संख्या है।

(iv) दी गई संख्या 49 में से क्रमश: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 घटाएँ।
49 - 1 = 48,   48 - 3 = 45,    45 - 5 = 40, 40 - 7 = 33
33 - 9 = 24,   24 -11 = 13,    13 - 13 = 0
इसका अर्थ है  49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

 एक पूर्ण वर्ग संख्या है।

(v) दी गई संख्या 81 में से क्रमश: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19 घटाएँ।
69 - 1 = 68,    68 - 3 = 65,    65 - 5 = 60,  60 - 7 = 53
53 - 9 = 44,    44 - 11 =33,   33 - 13 = 20,  20 -17 = 3,
3 - 19 = -16
यह दर्शाता है कि 69 को 1 से प्रारंभ होने वाली विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं।   
 

 69 एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

Shortcut Trick

हम जानते हैं कि एक संख्या जो एक पूर्ण वर्ग है, कभी भी 2, 3, 7, या 8 से समाप्त नहीं होती है।

विकल्प से हम देख सकते हैं कि केवल चौथा विकल्प 2 से समाप्त होता है।

इसलिए, हम आसानी से कह सकते हैं कि 23832 एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

अतः, सही विकल्प चौथा विकल्प है।

Alternate Method

दिया गया है:

दी गई संख्याओं 3136, 12544, 1296 और 23832 में से हमें यह ज्ञात करना है कि कौन सी पूर्ण वर्ग है।

अवधारणा:

1) एक संख्या जो एक पूर्ण वर्ग है, 2, 3, 7, या 8 से समाप्त नहीं होती है।

2) संख्या का अंकीय मूल ज्ञात कीजिए। अंकीय मूल अनिवार्य रूप से संख्या के सभी अंकों का योग है।

3) सभी संभावित संख्याएँ जो एक पूर्ण वर्ग हैं, उनका अंकीय मूल 1, 4, 7, 9 है।

गणना:

हम पहले विकल्प पर विचार करते है:

1) 3136

यहाँ 3136 का अंतिम अंक "6" है। इसलिए, अवधारणा में उल्लिखित पूर्ण वर्ग की पहली शर्त सत्यापित हो जाती है।

अब, संख्या 3136 का अंकीय मूल ज्ञात कीजिये।

3136 का अंकीय मूल है

⇒ 3 + 1 + 3 + 6 = 13

फिर से, 13 का अंकीय योग = 1 + 3 = 4,

अतः, अवधारणा में उल्लिखित तीसरी शर्त सत्यापित हो जाती है।

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 3136 एक पूर्ण वर्ग है।

2) 12544

यहाँ 12544 का अंतिम अंक “4” है। इसलिए, अवधारणा में उल्लिखित पूर्ण वर्ग की पहली शर्त सत्यापित हो जाती है।

अब, हम संख्या 12544 का अंकीय मूल ज्ञात करते हैं।

⇒ 1 + 2 + 5 + 4 + 4 = 16

फिर से, 16 का अंकीय योग = 1 + 6 = 7,

अतः अवधारणा में उल्लिखित तीसरी शर्त सत्यापित हो जाती है।

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 12544 एक पूर्ण वर्ग है।

3) 1296

यहाँ 1296 का अंतिम अंक "6" है। इसलिए, अवधारणा में उल्लिखित पूर्ण वर्ग की पहली शर्त सत्यापित हो जाती है।

अब, हम संख्या 1296 का अंकीय मूल ज्ञात करते हैं।

⇒ 1 + 2 + 9 + 6 = 18

फिर से, 18 का अंकीय योग = 1 + 8 = 9,

अतः अवधारणा में उल्लिखित तीसरी शर्त सत्यापित हो जाती है।

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 1296 एक पूर्ण वर्ग है।

4) 23832

यहाँ 3136 का अंतिम अंक “2” है। इसलिए, अवधारणा में उल्लिखित पूर्ण वर्ग की पहली शर्त यहां संतुष्ट नहीं थी।

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 23832 एक पूर्ण वर्ग नहीं है।

∴ सही उत्तर​ विकल्प (4) है।

निम्न में से कौन सी संख्या पूर्ण वर्ग है?

पूर्ण वर्ग संख्या कैसे बनाते हैं?

121 का पूर्ण वर्ग क्या होगा?

कौन सी संख्या पूर्ण वर्ग है 21 25 18 30?